Question

Załącznik ;)

Twierdzenie Pitagorasa

Answer 1

Zad. 14

Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c i spełniają warunek: a² + b² =c².

 

Z rysunku:

25 + 144 = 169

a² = 25 ⇒ a = 5

b² = 144 ⇒ b = 12

c² = 169 ⇒ c = 13

 

 

Zatem długiści boków trójkąta są wartościami wyrażeń:

 

Przykłady innych trójkątów pitagorejskich:

 

 

 

 

Zad. 15

a - długość boku trójkąta równobocznego

h - wysokość trójkąta równobocznego

P - pole trojkąta równobocznego

 

h = √3 cm

 

Jest to zadanie dot. tw. Pitagorasa, więc nie bedziemy korzystać ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym tylko właśnie z Pitagorasa.

 

 

 

Zad. 16

Z treści zadania wynika, że trazpez jest wpisany w okrąg, czyli dany trazpez jest równoramienny (oczywiście można to udowodnić, ale dowód ten nie jest w tym zadaniu wymagany - można skorzystać z dowodu ze strony: http://www.matmana6.pl/tablice_matematyczne/liceum/figury_plaskie_planimetria/103-czworokaty_wpisane_w_okrag)

 

Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik

ABCD - trapez równoramienny

AB, CD - podstawy trapezu

EF - wysokość h trapezu

S - środek okręgu

AS, BS, CS, DS - promień r okręgu

d - średnica okręgu

 

|AB| = a = 24 cm, stąd |AE| = |BE| = 12 cm

|CD| = b = 10 cm, stąd |DF| = |CF| = 5 cm

d = 26 cm

r = ½ · d = ½ · 26 = 13 cm

|AS| = |BS| = |CS| = |DS| = r = 13 cm

|EF| = h

 

Należy tu rozpatrzyć dwa przypadki:

1. Środek S okręgu nie należy do trapezu ABCD i wtedy

h = |EF| = |FS| - |ES|

2. Środek S okręgu należy do trapezu ABCD i wtedy

h = |EF| = |FS| + |ES|

 

ΔDFS - trójkąt prostokątny, zatem z tw. Pitagorasa:

|FS|² + |DF|² = |DS|²

|FS|² + 5² = 13²

|FS|² + 25 = 169

|FS|² = 169 - 25

|FS|² = 144

|FS| = 12 cm

 

ΔAES - trójkąt prostokątny, zatem z tw. Pitagorasa:

|ES|² + |AE|² = |AS|²

|ES|² + 12² = 13²

|ES|² + 144 = 169

|ES|² = 169 - 144

|ES|² = 25

|ES| = 5 cm

 

1 przypadek

h = |EF| = |FS| - |ES|

h = 12 - 5 = 7 cm

a = 24 cm

b = 10 cm

Zatem pole trapezu ABCD wynosi:

 

2 przypadek

h = |EF| = |FS|+ |ES|

h = 12 5 5 = 17 cm

a = 24 cm

b = 10 cm

Zatem pole trapezu ABCD wynosi:

 

 

Zad. 17

a) Trójkąt prostokątny, którego długości wszystkich boków są liczbami niewymiernymi, to np. boki mają długość: a = √2; b = √3; c = √5

 

a² + b² = c²

(√2)² + (√3)² = (√5)²

2 + 3 = 5

5 = 5

 

b) Trójkąt prostokątny, którego długości dwóch boków są liczbami niewymiernymi, to np. boki mają długość: a = √3; b = 2; c = √7

 

a² + b² = c²

(√3)² + 2² = (√7)²

3 + 4 = 7

7 = 7