Question

Za trzy książki których ceny tworzą ciąg geometryczny zapłacono razem 61 zł. Za pierwszą i drugą zapłacono razem o 11 zł więcej niż za trzecią. Ile zapłacono za każdą książkę ? podaj ile wynosi: a1 i q.

Answer 1

a₁ - cena za pierwszą książkę

a₁q - cena za drugą książkę

a₁q² - cena za trzecią książkę

 

a₁ + a₁q + a₁q² = 61

a₁ + a₁q = 11 + a₁q²

 

a₁ (1 + q + q₂) = 61

a₁ + a₁q - a₁q² = 11

 

a₁ (1 + q + q₂) = 61

a₁ (1 + q - q²) = 11 

 

dzielę stronami

 

a₁ (1 + q + q₂)       61

---------------   =  -----     

a₁ (1 + q - q²)       11

 

 

1 + q + q₂       61

-----------   =  ----    

1 + q - q²       11

 

 

11 + 11q + 11q² = 61 + 61q - 61q²

72q² - 50q - 50 = 0                /:2

36q² - 25q - 25 = 0

Δ = 625 - 4 * 36 * (-25) = 625 + 3600 = 4225

√Δ = 65

 

q₁ = (25 - 65)/72 = -40/72        <0

q₂ = (25 + 65)/72 = 90/72 = 1,25

 

a₁ (1 + q - q²) = 11 

a₁ (1 + 1,25 - 1,5625) = 11

a₁ * 0,6875 = 11

a₁ = 16

 

a₁q = 16 * 1,25 = 20

a₁q² = 20 * 1,25 = 25

 

Odp.:

a₁ = 16

q = 1,25

Ceny książek: 16zł, 20zł, 25zł

 

Answer 2

Ceny książek oznaczam:  x,y,z.              (x,y,z) - ciąg geometryczny                                Na podstawie treści otrzymujemy układ równań:

 { x+y+z = 61

 { x+y = z+11

 { y² = x·z

Podstawiając wartość x+y z drugiego równania do pierwszego mamy:

   z+11+z = 61   ,   2z+11=61  ,    2z = 50    ⇒ z=25

Otrzymana wartość z=25 podstawiam do równania pierwszego i trzeciego:

  { x+y+25=61     

  {  y² = 25x

  {  x=61-25-y = 36-y

  {  y²=25(36-y) ⇔  y²=900-25y    ⇔  y²+25y-900 = 0

                                                      Δ=625 +3600=4225,    √Δ= 65

                                               y₁=20   lub   y₂= -45  -  sprzeczne z treścią (cena nie 

                                                                                 może być ujemna)

  x=36-y = 36-20 = 16

Odp. Książki kosztowały :16 zł, 20 zł, 25 zł.

         a₁= 16,  q= 20/16 = 5/4 = 1¼