z^9=(-512)znaleźć wszystkie pierwiastki, dziedzina oczywiście zespolona.... Question from @lesio100

November 2018 1 104 Report

z^9=(-512)

znaleźć wszystkie pierwiastki, dziedzina oczywiście zespolona.

Roma $z^9=(-512) \\\\ z = \sqrt[9]{-512}$

$w = -512 = -512 +0i \Rightarrow a = -512, \ b = 0$

Obliczamy moduł liczby zespolonej:
$|w| = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{(-512)^2 + 0^2} = 512$

Obliczamy argument liczby zespolonej:
$sin \ \alpha = \frac{b}{|w|} = \frac{0}{512} = 0 \ \wedge \ cos \ \alpha = \frac{a}{|w|} = \frac{-512}{512} = -1 \\\\ Zatem: \ \alpha = arg \ w = \pi$

Obliczając pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej otrzymamy tyle wyników, ile wynosi stopień liczonego pierwiastka. Zatem licząc pierwiastek 9-tego stopnia otrzymamy 9 wyników.

I sposób - postać trygonometryczna
Pierwiastek n-tego stopnia z liczby w, to zbiór:
$\sqrt[n]{w} = \{w_0, \ w_1, \ldots, \ w_{n-1} \}, \ gdzie \\\\ w_k = \sqrt[n]{|w|} (cos \frac{\alpha+2k\pi}{n} +i sin \frac{\alpha+2k\pi}{n}), gdzie \\\\ k = 0, \ 1, \ldots, n-1 \ oraz \ \alpha = arg \ w$

Stąd:
Pierwiastki 9-tego stopnia z liczby zespolonej - 512, to:
$w_0 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{\pi}{9} +i sin \frac{\pi}{9}) \\\\ w_1 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{3\pi}{9} +i sin \frac{3\pi}{9})= \\\ = 2 \cdot (cos \frac{\pi}{3} +i sin \frac{\pi}{3})=2 \cdot (\frac{1}{2} +i \frac{\sqrt{3}}{2}) =1 + i\sqrt{3}$

$w_2 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 2 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 2 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{5\pi}{9} +i sin \frac{5\pi}{9})$

$w_3 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 3 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 3 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{7\pi}{9} +i sin \frac{7\pi}{9})$

$w_4 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 4 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 4 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{9\pi}{9} +i sin \frac{9\pi}{9})= \\\ = 2 \cdot (cos \ \pi+i sin \ \pi)=2 \cdot (-1 +i \cdot 0) =-2$

$w_5 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 5 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 5 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{11\pi}{9} +i sin \frac{11\pi}{9})=\\\ = 2 \cdot (cos \frac{-7\pi}{9} +i sin \frac{-7\pi}{9})$

$w_6 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 6 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 6 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{13\pi}{9} +i sin \frac{13\pi}{9})=\\\ = 2 \cdot (cos \frac{-5\pi}{9} +i sin \frac{-5\pi}{9})$

$w_7 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 7 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 7 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{15\pi}{9} +i sin \frac{15\pi}{9})=\\\ = 2 \cdot (cos \frac{-3\pi}{9} +i sin \frac{-3\pi}{9})= 2 \cdot (cos \frac{-\pi}{3} +i sin \frac{-\pi}{3})= \\\ = 2 \cdot (\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3}$

$w_8 = \sqrt[9]{512} \cdot (cos \frac{\pi+2 \cdot 8 \cdot \pi}{9} +i sin \frac{\pi+2 \cdot 8 \cdot \pi}{9}) = 2 \cdot (cos \frac{17\pi}{9} +i sin \frac{17\pi}{9})=\\\ = 2 \cdot (cos \frac{-\pi}{9} +i sin \frac{-\pi}{9})$

II sposób - postać wykładnicza
Pierwiastek n-tego stopnia z liczby w, to zbiór: $\sqrt[n]{w} = \{w_0, \ w_1, \ldots, \ w_{n-1} \}, \ gdzie \\\\ w_k = \sqrt[n]{|w|} \cdot e^{i \cdot \frac{\alpha+2k\pi}{n}}, gdzie \\\\ k = 0, \ 1, \ldots, n-1 \ oraz \ \alpha = arg \ w$

Stąd:
Pierwiastki 9-tego stopnia z liczby zespolonej - 512, to:
$w_0 = \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \cdot \frac{\pi}{9}}=2e^{\frac{i\pi}{9}}$

$w_1 = \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \cdot \frac{3\pi}{9}}=2e^{\frac{i\pi}{3}}$

$w_2 = \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 2 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \cdot \frac{5\pi}{9}}=2e^{\frac{5i\pi}{9}}$

$w_3 = \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 3 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \cdot \frac{7\pi}{9}}=2e^{\frac{7i\pi}{9}}$

$w_4 = \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 4 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \pi}=2 \cdot (- 1) = - 2$

$w_5= \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 5 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \cdot \frac{11\pi}{9}}=2e^{\frac{11i\pi}{9}}=2e^{\frac{-7i\pi}{9}}$

$w_6 = \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 6 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \cdot \frac{13\pi}{9}}=2e^{\frac{13i\pi}{9}}=2e^{\frac{-5i\pi}{9}}$

$w_7 = \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 7 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \cdot \frac{15\pi}{9}}=2e^{\frac{15i\pi}{9}}=2e^{\frac{15i\pi}{9}}=2e^{\frac{-i\pi}{3}}$

$w_8 = \sqrt[9]{512} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi+2 \cdot 8 \cdot \pi}{9}}=2 \cdot e^{i \cdot \frac{17\pi}{9}}=2e^{\frac{17i\pi}{9}}=2e^{\frac{-i\pi}{9}}$

3 votes Thanks 0

lesio100 Twoje rozwiązania są po prostu lepsze od podręczników. :)