Question

Z punktu P leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków trójkąta .Wykaż że suma długości tych odcinków jest rózna wysokości tego trójkąta

Answer 1

Z punktu P poprowadź dane odcinki i oznacz je np.x, y, z.
Następnie połącz punkt P z każdym z wierzchołków trójkąta. Dostaniesz 3 trójkąty; o wysokości x, o wysokości y i o wysokości z.

Ponieważ pole tego dużego trójkąta jest równe polom trzech małych to:

1/2ah=1/2ax+1/2ay+1/2az
1/2ah=1/2a(x+y+z)

zatem h=x+y+z

udowodnione:)

Answer 2

Z punktu P leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków trójkąta .Wykaż że suma długości tych odcinków jest rózna wysokości tego trójkąta

Jest to typowe zadanie konkursowe na dowodzenie. Wystarczy, że punkt P połśączysz z każdym z wierzchołków naszego trójkąta, a otrzymasz 3 nowe trójkąty których podstawami są boki trójkąta prostokątnego.
Odległość zaś punktuP od każdego boku jest równa wysokości odpowiednich trójkącików. Obliczając pole trójkąta równobocznego jako sumę tych trzech trójkątów i skracając przez 1/2a ( gdzie a-bok trójkąta, ale tez podstawy tych trzech) otrzymujesz h=suma długości tych odcinków