Question

Z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzono prostą k styczną do tego okręgu w punkcie A prostą l przecinającą okrąg w punktach B i C. Wykaż że :
|PA|²= |PB| * |PC|

Answer 1

To się nazywa twierdzeniem o stycznej i siecznej do okręgu.
Wystarczy pokazać, że trójkaty PAB i PAC są podobne.
Policzmy miarę kąta
Niech kąt PAB ma miarę
Wtedy
Trójkąt OAB jest równoramienny zatem również

Czyli kąt
Kąt C jest wpisany na tym samym łuku, co AOB zatem

Ponadto kąt P jest wspólny dla obu trójkątów. Czyli mamy podobieństwo trójkątów PAB i PAC z cechy kk. Napiszmy proporcje z niego wynikającą

No i mnożąc przez mianowniki mamy tezę