Resuelve la siguiente ecuación: Dy/dx= 3x+x y^2/y+x^2 y.... Question from @Melyssat

October 2018 1 139 Report

Resuelve la siguiente ecuación:
Dy/dx= 3x+x y^2/y+x^2 y

seeker17 El ejercicio es el siguiente:

$\frac{dy}{dx}= \frac{3x+x y^{2} }{y+ x^{2} y}$

se trata de una ecuación diferencial que podemos resolverla por partes..es decir podemos extraer todo lo que tenga "x"...para un solo lado y todo lo que tenga "y" para el otro lado...

$\frac{dy}{dx}= \frac{(x)(3+ y^{2}) }{(y)(1+ x^{2} )} \\ \\ \frac{(y)dy}{3+ y^{2} } = \frac{(x)dx}{1+ x^{2} }$

ahora si ya podemos integrar a cada lado de igualdad...

$\int\limits {\frac{y}{3+ y^{2} }} \, dy = \int\limits {\frac{x}{1+ x^{2} }} \, dx$

podemos resolver éstas integrales por sustitución en ambos casos...

para la primera integral consideremos:

$u= y^{2} \\ Derivamos: \\ du=2ydy \\ Despejamos: \\ dy= \frac{du}{2y} \\ \\ Reemplazamos: \\ \\ \int\limits { \frac{y}{3+u } } \, ( \frac{du}{2y} ) = \int\limits { \frac{1}{2(3+u)} } \, du = \frac{1}{2} \int\limits { \frac{1}{3+u} } \, du$

y ésta integral si sabemos a que es igual verdad?..

$\frac{1}{2} \int\limits { \frac{1}{3+u} } \, du= \frac{1}{2} ( ln(u+3)) \\ \\ Pero:u= y^{2} \\ \\ \frac{1}{2} ln( y^{2}+3 )$

de manera similar resolveremos la segunda integral....como te das cuenta es exactamente el mismo procedimiento....y llegamos a que la primitiva de la segunda integral es:

$\int\limits { \frac{x}{1+ x^{2} } } \, dx = \frac{1}{2} (ln(1+ x^{2} ))$

listo...finalmente recopilando todo lo que hemos hecho también aumentamos la constante de integración...

$\frac{1}{2} ln( y^{2}+3 )=\frac{1}{2} (ln(1+ x^{2} ))+C \\ \\ Simplificando: \\ \\ ln( y^{2}+3 )=ln(1+ x^{2} ) +2C$

podemos dejarla hasta ahí, como no tenemos condiciones iniciales entonces quedaría ahí...

lo siguiente es opcional...

Primero elevamos a la "e" a cada lado y vamos a hacer uso de las propiedades de los exponentes para despejar "y"..de esa función

$e^{ln( y^{2}+3 )} = e^{ln(1+ x^{2} )+2C} \\ y^{2} +3= (e^{ln(1+ x^{2} )}) ( e^{2C} ) \\ \\ y^{2} = (e^{ln(1+ x^{2} )}) ( e^{2C} )-3 \\ \\ \sqrt{ y^{2} } = \sqrt{(1+ x^{2})( e^{2C} )-3 } \\ |y|= \sqrt{ e^{2C}+e^{2C} x^{2} -3} \\ \\ Pero: e^{2C}=numero=K \\ \\|y|= \sqrt{ e^{2C} x^{2} +K-3 } \\ \\ Soluciones: \\ y=-\sqrt{ e^{2C} x^{2} +K-3 } \\ y=+\sqrt{ e^{2C} x^{2} +K-3 }$

y eso sería todo en definitiva...como te mencioné ésta parte es opcional, hay ciertos profesores que exigen llegar hasta aquí....otros solo hasta donde dejamos anterior...

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