Question

Y=-3(x-3²)+3
y=(x-3)²+1
f(x)=2x²+2x-4
y=2x²+4x+1

I proszę o wytłumaczenie jak się zmienia z funkcji np.kanonicznej na iloczynową i odwrotnie??

Answer 1

Przykład 1)

y= -3(x-3)²+3 jest to postać kanoniczna y= a(x- p)²+ q, gdzie a= -3, p= 3, q=3

stąd z wzorów p= -b/2a= -b/-6 = 3 i q= -Δ/4a= -Δ/-12= 3

teraz obliczamy b:

-b/-6 = 3, stąd b= 18

następnie obliczamy deltę:

-Δ/-12= 3, stąd Δ= 36

Mamy przejść z postaci kanonicznej funkcji i zapisać ją w postaci iloczynowej,

czyli y= a(x-x₁)(x-x₂), więc musimy obliczyć pierwiastki x₁ i x₂:

x₁= (-b-√Δ)/2a = (-18-6)/-6= -24/-6= 4
x₂= (-b+√Δ)/2a = (-18+6)/-6= -12/-6= 2

postać iloczynowa

y= -3(x-4)(x-2)

Odp. Jeśli postać kanoniczna funkcji ma wzór y= -3(x-3)²+3, to postać iloczynowa y= -3(x-4)(x-2).

{Można ją też zapisać w postaci ogólnej y= -3x²+18x- 24, wykonać po kolei działania -3(x-3)²+3= -3(x²- 6x+ 9)+ 3= -3x²+ 18x- 27+ 3= -3x²+18x- 24}

 

Przykład 2)

y=(x-3)²+1, jest to postać kanoniczna y= a(x- p)²+ q, gdzie a=1, p= 3, q= 1

stąd z wzorów p= -b/2a= -b/2 = 3 i q= -Δ/4a= -Δ/4= 1

teraz obliczamy b:

-b/2 = 3, stąd b= -6

następnie obliczamy deltę:

-Δ/4= 1, stąd Δ= -4

Mamy przejść z postaci kanonicznej funkcji i zapisać ją w postaci iloczynowej,

czyli y= a(x-x₁)(x-x₂), więc musimy obliczyć pierwiastki x₁ i x₂, ale delta jest liczbą ujemną, czyli funkcja nie ma pierwaistków. Nie można przedstawić postaci iloczynowej.

Postać ogólna:

y=(x-3)²+1= y= x²- 6x+ 9+ 1= x²- 6x+ 10

Δ= 36- 4*1*10= 36- 40 = -4 <0 nie ma pierwiastków

 

Przykład 3)

f(x) = 2x²+ 2x- 4
a= 2, b= 2, c= -4
a) wyznaczamy postać iloczynową f(x)= a(x-x₁)(x-x₂),
gdzie Δ= 2²- 4*2*(-4)= 4+ 32= 36 , √Δ= √36= 6
x₁= (-b-√Δ)/2a = ⁻²⁻⁶/₄ = -2
x₂= (-b+√Δ)/2a = ⁻²⁺⁶/₄ = 1
f(x)= 2(x+2)(x-1)
b) wyznaczamy postać kanoniczną f(x)= a(x- p)²+ q,
gdzie p= -b/2a= ⁻²/₄= ⁻½, q= -Δ/4a= ⁻³⁶/₈= -4½
f(x)= 2(x+ ½)² -4½
Odp. Postać iloczynowa funkcji f(x) = 2x²+ 2x- 4,
to f(x)= 2(x+2)(x-1), a postać kanoniczna f(x)= 2(x+ ½)² -4½

 

Przykład 4)

y = 2x²+4x+1
a= 2, b= 4, c= 1
a) wyznaczamy postać iloczynową y= a(x-x₁)(x-x₂),
gdzie Δ= b²-4ac= 4²- 4*2*1= 16- 8= 8 , √Δ= √8= √(4*2)= 2√2
x₁= (-b-√Δ)/2a = (-4-2√2)/4= -1-½√2
x₂= (-b+√Δ)/2a = (-4+2√2)/4= -1+½√2
f(x)= 2(x+1+½√2)(x+1-½√2)
b) wyznaczamy postać kanoniczną y= a(x- p)²+ q,
gdzie p= -b/2a= ⁻⁴/₄= -1, q= -Δ/4a= ⁻⁸/₈= -1
f(x)= 2(x+ 1)² -1
Odp. Postać iloczynowa funkcji y= 2x²+ 4x+ 1,
to y= 2(x+1+½√2)(x+1-½√2), a postać kanoniczna y= 2(x+ 1)² -1