Question

Rozwiąż nierówność:

[(x+3)^2-1] / [x(x-2)(x+2)] większe bądź równe ZERO


ZAŁĄCZNIK

Answer 1

Odpowiedź:

Żeby całość była 0 to albo mianownik i licznik muszą być oba dodadnie, albo oba ujemne.

Zaczynamy od ustalenia dziedziny. Mianownik nie może równać się 0. Więc

Kolejnym krokiem jest ustalenie kiedy licznik jest dodatni, a kiedy ujemny.

Korzystając ze wzoru na miejsca zerowe w funkcji kwadratowej wyznaczamy miejsca zerowe:

-Miejsca zerowe to -4 oraz -2. Ponieważ mamy znak dodatni przy , dlatego w przedziale (-4,-2) funkcja przyjmuje wartości ujemne. Zaś w reszcie wartości nieujemne. W punktach -4 oraz -2 przyjmuje ona zero, w tym przypadku znak nie ma znaczenia.

Dodatnia dla (-2,∞)

Ujemna dla (-4,-2)

Dodatnia dla (-∞,-4)

Następnie sprawdzamy znak mianownika. Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy.

Znamy już miejsca zerowe tej funkcji, a ponieważ przy jest znak dodatni, to wiemy że w nieskończoności osiągnie ona wynik dodatni. Dlatego jesteśmy w stanie określić w których przedziałach funckja jest dodatnia oraz ujemna.

Dodatnia dla (2,∞)

Ujemna dla (0,2)

Dodatnia dla (-2,0)

Ujemna dla (-∞,-2).

Teraz wybieramy przedziały w których mianownik i licznik mają ten sam znak, oraz uwzględniamy dziedzine.

Dla przediału (2,∞) oba dodatnie, działa

Punkt 2 nie jest w dziedzinie funkcji, nie działa

Dla przedziału (0,2) Jedno dodatnie, drugie ujemne, nie działa

Punkt 0 nie jest w dziedzinie funkcji, nie działa

Dla (-2,0) Oba dodatnie, działa

Punkt -2 nie jest w dziedzinie funkcji, nie działa

Dla (-4,-2) Oba ujemne, działa

Dla -4 licznik się zeruje, działa

Dla (- ∞,-4) jedno dodatnie drugie ujemne, nie działa

Następnie wybieramy wszystkie przedziały w których działą i otrzymujemy finalny wynik który jest sumą przedziałów

<-4,-2) oraz (-2,0)  oraz (2,∞)