Question

Pomocy!!!!

1. Skróć podane wyrażenie wymierne x3+5x2-x-5 / x2+4x-5
2. rozwiąż równania:
a) 5x / x+2 = 0
b) 3x-1 / x+1 = 2x-3 / 2x+3

3. Naskicuj wykres funkcji, a następnie podaj jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsce zerowe, zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz określ jej monotoniczność:
f(x) = 1/x+3 -4.

Answer 1

1. x³+5x²-x-5 / x²+4x-5

zauważmy, że:
x³+5x²-x-5 = x³-x+5x²-5 = x(x²-1)+5(x²-1) = (x²-1)(x+5) = (x-1)(x+1)(x+5)

oraz, że:
x²+4x-5
Δ=16-4*1*(-5)=36
√Δ=6
x₁=(-4-6)/2 = -10/2 = -5
x₂=(-4+6)/2 = 2/2 = 1
x²+4x-5 = (x+5)(x-1)

więc ostatecznie:
x³+5x²-x-5 / x²+4x-5
(x-1)(x+1)(x+5) / (x+5)(x-1)
(x+1)/1 = x+1

oczywiście x≠-5 i x≠1

2.
a) 5x / x+2 = 0
musimy od razu założyć, że x≠2, a wtedy z wiedzy, że ułamek jest równy zeru tylko wtedy gdy licznik jest równy zeru to mamy:
5x=0 |:5
x=0

b) 3x-1 / x+1 = 2x-3 / 2x+3
x≠-1 oraz x≠-1½

(3x-1)/(x+1) = (2x-3)/(2x+3)
(3x-1)/(x+1) - (2x-3)/(2x+3) = 0

sprowadzamy do wspólnego mianownika:
(3x-1)*(2x+3)/(x+1)*(2x+3) - (2x-3)*(x+1)/(2x+3)*(x+1) = 0

i zapisujemy pod jedną kreską ułamkową:
[(3x-1)*(2x+3) - (2x-3)*(x+1)] / (x+1)*(2x+3) = 0
ułamek jest równy zeru gdy licznik jest równy zeru:
(3x-1)*(2x+3) - (2x-3)*(x+1) = 0
wymnażamy:
6x²+9x-2x-3 -(2x²+2x-3x-3) = 0
6x²+7x-3-2x²+x+3 = 0
4x²+8x=0 :4
x²+2x=0
x(x+2)=0

więc x=0 lub x=-2

3. Naszkicowana funkcja: f(x) = 1/(x+3) - 4
http://i49.tinypic.com/2gxnqqw.jpg
Dziedzina: x∈R/{-3}
Zbiór wartości: x∈R/{-4}

Miejsce zerowe to miejsce gdzie f(x)=0 więc:
0 = 1/(x+3) - 4
4 = 1/(x+3)
4(x+3) = 1
4x+12 = 1
4x = -11
x = -11/4 = -2¾

i z rysunku widać, że dla x∈(-3;-2¾) funkcja przyjmuje wartości dodatnie.