Question

1. Dla jakiej wartości parametru k różne rozwiązania x1,x2 równania kx^2 - (k+1)x - 2k + 3 = 0 spełniają warunek spelniaja warunek 1/x1 + 1/x2 = k + 1?
2.Dla jakich wartosci parametru p rownanie x^2 + 2(p - 1)x + p^2 - 4 = 0 ma dwa rozne rozwiazania, ktorych suma kwadratow jest mniejsza od 12?

Answer 1

1.
k≠0
Δ>0⇔k²+2k+1-4k(3-2k)>0⇔9k²-10k+1>0⇔9(k-1)(k-1/9)>0⇔k∈(-∞,1/9)u(1,∞)
1/x1+1/x2=k+1
(x2+x1)/x1*x2=k+1⇔[(k+1)/k]*[k/(3-2k)=k+1⇔(k+1)/(3-2k)=(k+1)⇔k+1=(k+1)(3-2k)⇔(k+1)(1-3+2k)=0⇔(k+1)(2k-2)=0⇔k=1∨k=-1

Bierzemy wspólną część warunków czyli k=-1

2.
Δ>0⇔4(p²-2p+1)-4(p²-4)>0⇔-8p+20>0⇔20<8p⇔p>5/2
x²1+x²2<12⇔(x1+x2)²-2x1*x2<12⇔[2(1-p)]²-2(p²-4)<12⇔4-8p+4p²-2p²+8<12⇔
2p²-8p<0⇔2p(p-4)<0⇔p∈(0,4)
Bierzemy wspólną część p∈(5/2,4)