Question

Hallar el limite de los siguientes ejemplos

lim=3x^2-24x+48 / x-4 X=4

}lim= 2x^3 -14x^2 +12x / x^3 - 10x^2 + 27x -18 x=1

lim= x - 4 /x^2 -x - 12 x=4

lim4 - x^2 / 23 - raiz cuadrada x^2 + 5 x=2

lim= x^3 - 4x / x^2 -3x +2 x=2

Answer 1

El los ejercicios reemplazando cada valor x en los limites sale  0/0 que es indeterminado, así que aplica factorizacion para romper la indeterminación.

1)  lim    3x^2 - 24x + 48 / x-4           
     x=4

     lim    3x^2 - 12x - 12x + 48 / x-4    => (El -24x lo separamos -12x-12x )   
     x=4

     lim    3x(x - 4) - 12(x - 4) / x-4    => (Sacamos Factor comun 3x y 12)       
     x=4

     lim    (x - 4) (3x - 12) / x-4   => Factorizamos (x - 4)  ya agrupamos 3x y 4
     x=4

      lim    3x - 12  => Eliminamos ( x -  4 ) del numerador y del denominador           
     x=4

Reemplazamos con  x = 4    => 3(4) - 12 = 12 - 12 = 0



2) lim     2x^3  - 14x^2 + 12x / x^3 - 10x^2 + 27x -18
    x=1
   
   Factorizamos el numerador (factor comun)
   lim     2x(x^2 -7x + 6) / x^3 - 10x^2 + 27x -18 
    x=1

   Factorizamos el denominador (aplicando metodo de ruffini)
   lim     2x(x^2 -7x + 6) / (x -1) (x^2 - 9x + 18) 
  x=1

Factorizamos el numerador (x^2 -7x + 6) aplicando aspa simple 
   lim     2x(x - 6)(x - 1) / (x -1) (x^2 - 9x + 18) 
  x=1

Factorizamos el denominador (x^2 - 9x + 18) aplicando aspa simple 
   lim     2x(x - 6) (x - 1) / (x -1) (x - 6) (x - 3)
  x=1

Simplificamos  (x - 6) y (x - 1) de numerador y denominador
   lim     2x(x - 6) (x - 1) / (x -1) (x - 6) (x - 3)
  x=1

  lim     2x / (x - 3)
  x=1

Reemplazamos con x = 1  => 2(1) / (1 - 3) = 2 / -2 = - 1  

3) lim   x - 4 /x^2 -x - 12
    x=4
   
   Factorizamos el denominador (x^2 -x - 12) aplicando aspa simple
    lim   x - 4 /(x - 4)(x + 3)
    x=4

   Simplificamos (x - 4) tanto del numerador como del denominador
     lim   x - 4 /(x - 4)(x + 3)
    x=4

     lim   1 / (x + 3)
    x=4

Reemplazamos x = 4  => 1 / (4 + 3) = 1 / 7 



5) lim   x^3 - 4x / x^2 - 3x + 2
     x=2
 
    Factorizamos (x^3 - 4x) del numerador y (x^2 - 3x + 2) del denominador
     En (x^3 - 4x) factor comun y en (x^2 - 3x + 2) aspa simple
      lim   x(x^2 - 4) / (x - 2) (x - 1) 
     x=2
  
    Factorizamos  (x^2 - 4) del numerador aplicando diferencia de cuadrados 
    lim   x(x - 2) (x + 2) / (x - 2) (x - 1) 
     x=2
      
   Simplificamos (x - 2) del numerador y denominador
     lim   x(x + 2) / (x - 1) 
     x=2

Reemplazamos x = 2  =>  2(2 + 2) / (2 - 1) = 2(4) / 1 = 8 / 1 = 8


4) lim  4 - x^2 / 3- √x^2 + 5 x=2

Aplicando Racionalizacion

lim    (4 - x^2)      (3 + √x^2 + 5)  
         --------------------------------------
        (3- √x^2 + 5)    (3 + √x^2 + 5)

lim    (4 - x^2)(3 + √x^2 + 5)  
          ------------------------          
        (3- √x^2 + 5)(3 + √x^2 + 5)

Aplicando diferencia de cuadrados
lim    (4 - x^2)(3 + √x^2 + 5)   
        ------------------------              
         3^2 - (√x^2 + 5)^2

lim    (4 - x^2)(3 + √x^2 + 5)
x=2   ------------------------                
              9 - (x^2 + 5)

lim    (4 - x^2)(3 + √x^2 + 5)      
           ------------------------                    
                9 - x^2 - 5

Simplificando (4 - x^2) 
   
lim    (4 - x^2)(3 + √x^2 + 5) 
       ------------------------                
             (4 - x^2)

lim   (3 + √x^2 + 5)

Reemplazar x = 2 en   3 + √2^2 + 5 = 3 + √4 + 5 = 3 + √9 = 3 + 3 = 6

Saludos ....