Carilah nilai dari ∫(0 hingga tak terhingga) (x^3 - 2x^2 + 5x - 7)/(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) dx, di mana ∫ menunjukkan integral dalam hal ini.
Jawaban: Pertama, mari kita dekomposisi persamaan pembilang dan penyebut menjadi bentuk pecahan parsial. Dalam kasus ini, kita akan membagi persamaan pembilang dengan persamaan penyebut untuk mendapatkan bentuk pecahan parsial.
(x^3 - 2x^2 + 5x - 7)/(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) = A/(x - 1) + B/(x - 1)^2 + (Cx + D)/(x^2 + 1),
di mana A, B, C, dan D adalah konstanta yang akan kita tentukan.
Kemudian, kita akan mencari nilai-nilai konstanta tersebut dengan mengalikan kedua sisi persamaan di atas dengan penyebut dan menggabungkan suku-suku dengan pangkat yang sama.
x^3 - 2x^2 + 5x - 7 = A(x - 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)^2 + (Cx + D)(x - 1)^2.
Setelah menyusun ulang persamaan di atas, kita dapat menentukan nilai-nilai konstanta dengan membandingkan koefisien-koefisien yang sesuai.
Pertama, substitusikan x = 1 ke persamaan di atas. Kita akan mendapatkan:
-3 = B(1 - 1)^2,
yang menyiratkan bahwa B = -3.
Selanjutnya, substitusikan x = -1 ke persamaan tersebut. Kita akan mendapatkan:
-5 = C(-1) + D(-1 - 1)^2,
yang dapat disederhanakan menjadi:
-5 = -C + 4D.
Selanjutnya, substitusikan x = 0 ke persamaan tersebut. Kita akan mendapatkan:
-7 = A(0 - 1)(0^2 + 1) + B(0 - 1)^2 + D(0 - 1)^2.
Ini dapat disederhanakan menjadi:
-7 = -A - B + D.
Akhirnya, untuk mencari nilai konstanta A, kita akan mencoba mencocokkan koefisien x^3 dalam persamaan tersebut:
1 = C + D.
Dengan persamaan-persamaan di atas, kita dapat membentuk sistem persamaan linear dan mencari nilai-nilai konstanta yang belum diketahui.
Setelah menentukan nilai-nilai konstanta, kita dapat menggantikan pecahan pecahan parsial ke dalam integral asli dan menghitung integralnya menggunakan metode yang sesuai, seperti metode substitusi atau metode pecahan parsial.
Buat dengan caranya perhitungannya ! Terima kasih
Jawaban: Pertama, mari kita dekomposisi persamaan pembilang dan penyebut menjadi bentuk pecahan parsial. Dalam kasus ini, kita akan membagi persamaan pembilang dengan persamaan penyebut untuk mendapatkan bentuk pecahan parsial.
(x^3 - 2x^2 + 5x - 7)/(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) = A/(x - 1) + B/(x - 1)^2 + (Cx + D)/(x^2 + 1),
di mana A, B, C, dan D adalah konstanta yang akan kita tentukan.
Kemudian, kita akan mencari nilai-nilai konstanta tersebut dengan mengalikan kedua sisi persamaan di atas dengan penyebut dan menggabungkan suku-suku dengan pangkat yang sama.
x^3 - 2x^2 + 5x - 7 = A(x - 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)^2 + (Cx + D)(x - 1)^2.
Setelah menyusun ulang persamaan di atas, kita dapat menentukan nilai-nilai konstanta dengan membandingkan koefisien-koefisien yang sesuai.
Pertama, substitusikan x = 1 ke persamaan di atas. Kita akan mendapatkan:
-3 = B(1 - 1)^2,
yang menyiratkan bahwa B = -3.
Selanjutnya, substitusikan x = -1 ke persamaan tersebut. Kita akan mendapatkan:
-5 = C(-1) + D(-1 - 1)^2,
yang dapat disederhanakan menjadi:
-5 = -C + 4D.
Selanjutnya, substitusikan x = 0 ke persamaan tersebut. Kita akan mendapatkan:
-7 = A(0 - 1)(0^2 + 1) + B(0 - 1)^2 + D(0 - 1)^2.
Ini dapat disederhanakan menjadi:
-7 = -A - B + D.
Akhirnya, untuk mencari nilai konstanta A, kita akan mencoba mencocokkan koefisien x^3 dalam persamaan tersebut:
1 = C + D.
Dengan persamaan-persamaan di atas, kita dapat membentuk sistem persamaan linear dan mencari nilai-nilai konstanta yang belum diketahui.
Setelah menentukan nilai-nilai konstanta, kita dapat menggantikan pecahan pecahan parsial ke dalam integral asli dan menghitung integralnya menggunakan metode yang sesuai, seperti metode substitusi atau metode pecahan parsial.
Buat dengan caranya perhitungannya ! Terima kasih
Jawab:
Untuk menentukan nilai-nilai konstanta A, B, C, dan D, mari kita tinjau persamaan yang telah kita deduksi:
x^3 - 2x^2 + 5x - 7 = A(x - 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)^2 + (Cx + D)(x - 1)^2.
Mari kita expand persamaan tersebut dan kumpulkan suku-suku dengan pangkat yang sama:
x^3 - 2x^2 + 5x - 7 = (A + B + C)x^3 + (-2A - 2B - 2C + D)x^2 + (A - 2B + C - 2D)x + (-A + B - D).
Dari ekspansi di atas, kita bisa menyamakan koefisien-koefisien yang sesuai:
A + B + C = 1 (koefisien x^3)
-2A - 2B - 2C + D = -2 (koefisien x^2)
A - 2B + C - 2D = 5 (koefisien x)
-A + B - D = -7 (koefisien konstanta)
Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear yang terdiri dari empat persamaan dengan empat variabel. Kita dapat menyelesaikannya dengan metode substitusi atau eliminasi. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan metode eliminasi.
Dari persamaan terakhir, kita bisa menyatakan A dalam hal B dan D:
A = B - D - 7.
Substitusikan nilai A tersebut ke dalam persamaan pertama:
(B - D - 7) + B + C = 1.
Dapat disederhanakan menjadi:
2B + C - D = 8 (persamaan 1).
Substitusikan nilai A ke persamaan kedua:
-2(B - D - 7) - 2B - 2C + D = -2.
Dapat disederhanakan menjadi:
-4B - 2C + 3D = -12 (persamaan 2).
Substitusikan nilai A ke persamaan ketiga:
(B - D - 7) - 2B + C - 2D = 5.
Dapat disederhanakan menjadi:
-C - 3D = 12 (persamaan 3).
Terakhir, substitusikan nilai A ke persamaan keempat:
-(B - D - 7) + B - D = -7.
Dapat disederhanakan menjadi:
2D = 0 (persamaan 4).
Dari persamaan 4, kita bisa menyimpulkan bahwa D = 0. Substitusikan nilai D tersebut ke persamaan 1, 2, dan 3:
2B + C = 8 (persamaan 1)
-4B - 2C = -12 (persamaan 2)
-C = 12 (persamaan 3)
Dari persamaan 3, kita bisa menyimpulkan bahwa C = -12. Substitusikan nilai C tersebut ke persamaan 1 dan 2:
2B - 12 = 8 (persamaan 1)
-4B - 2(-12) = -12 (persamaan 2)
Dari persamaan 1, kita bisa mendapatkan B:
2B = 20
B = 10
Substitusikan nilai B dan C ke persamaan 2:
-4(10) - 2(-12) = -12
-40 + 24 = -12
-16 = -12