Zadanie z poziomu studiów. Należy znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji dwóch zmiennych (x, y) opisanej równaniem: z = arctg(y/x) w punkcie przecięcia wykresu tej funkcji z osią OX. Samo znalezienie równania owej płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji nie stanowi problemu, ale ... żeby to uczynić należy wpierw wyznaczyć współrzędne punktu P = (x₀, y₀, z₀) styczności tej szukanej płaszczyzny z wykresem funkcji z = f(x, y) a przede wszystkim przecięcia wykresu funkcji z = f(x, y) z osią OX. Problem w tym, jak wyznaczyć te współrzędne punktu P? Ma ktoś jakiś sensowny pomysł? Ja, koncypowałem to w sposób następujący ... skoro wykres funkcji z = f(x, y) ma przecinać oś OX, zatem w punkcie przecięcia osi OX, pozostałe współrzędne (y, z) punktu przecięcia muszą wynosić: y = 0 oraz z = 0. Otrzymujemy więc punkt o niepełnych współrzędnych, a mianowicie: P = (x₀, 0, 0). Skoro jednak punkt P jest punktem przecięcia wykresu funkcji z = f(x, y) z osią OX, to współrzędne punktu P muszą wobec tego spełniać równanie funkcji z = f(x, y), czyli funkcji: z = arctg(y/x). A więc, powinno być: 0 = arctg(0/x₀) ?. I teraz problem. Jak stąd wyznaczyć konkretną wartość współrzędnej: x₀ ? A może wykres funkcji z = arctg(y/x) przecina oś OX nie w punkcie x₀ a .... w wielu punktach na raz bądź wręcz na całej jakiejś półprostej? Ciekaw jestem opinii i ewentualnego rozwiązania problemu przez kogoś światłego. Pozdrawiam.
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Można to zrobić, rozwiązując równanie z = arctg(y/x) dla y = 0 i z = 0, co daje x₀ = 0. Współrzędna y₀ wciąż pozostaje nieokreślona, co oznacza, że punkt P znajduje się na osi OX.
Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji w punkcie P = (0, 0, 0), możemy skorzystać z definicji stycznej płaszczyzny, która mówi, że płaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie P jest płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt i mającą wektor normalny równy gradientowi powierzchni w punkcie P.
Gradient powierzchni z = arctg(y/x) w punkcie P można obliczyć, stosując operator gradientu. Otrzymujemy w ten sposób:
grad z(P) = (∂z/∂x, ∂z/∂y) = (-y/(x²+y²), x/(x²+y²))
W punkcie P = (0, 0, 0) gradient wynosi:
grad z(P) = (0, 0)
Wektor normalny płaszczyzny stycznej jest zatem równy wektorowi (0, 0, 1), gdyż płaszczyzna ta musi być równoległa do osi OZ (zgodnie z faktem, że z = 0 w punkcie P).
Ostatecznie, równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji w punkcie P = (0, 0, 0) to:
z = 0
Co oznacza, że płaszczyzna ta jest równa płaszczyźnie OX.