wykaż że funkcja f opisana wzorem f(x)=-5/x nie jest rosnąca w zbiorze R+ w sumie R_ wykaż że funkcja f(x)=-2 pod pierwiastkiem x+4 jest malejąca
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2025 KUDO.TIPS - All rights reserved.
1. Funkcja opisana wzorem: jest rosnąca w R+ w sume z R_, więc niestety nie można wykazać, że nie jest. Można to jedynie sprawdzić. Żeby się o tym przekonać, to wystarczy ją narysować, ale można to zrobić też w sposób algebraiczny.
Nasza funkcja jest hiperbolą, więc musimy rozpatrzeć osobno R+ i R_. Najpierw plusy. Bierzemy jakiś x (dodatni) oraz x+1. Porównujemy wartości w tych punktach. Jeśli dla x+1 będzie wyższa, to znaczy, że funkcja jest rosnąca. Sprawdźmy, dla jakich iksów dodatnich jest rosnąca:
Dla wszystkich iksów dodatnich. Zauważ, że bezkarnie pomnożyłem sobie obie strony przez x(x+1). Bez założenia, że jest to dodatnie nie mógłbym tak zrobić. Dla ujemnych weźmiemy x oraz x-1 (bo np. dla x=-0,5, x+1=0,5, co byłoby dodatnie):
Z tego wynika, że: , ale patrzymy tylko na ujemne, więc się zgadza. Wykazane.
2. Najpierw określmy dziedzinę. Wiadomo, że pod pierwiastkiem nie może stać liczba ujemna, więc:
Tu już nie musimy rozpatrywać dwóch przypadków. Sprawdzamy, kiedy jest malejąca. W tym przypadku, wartość w iksie musi być większa od wartości w x+1.
W tym przypadku moglibyśmy zakończyć dowód stwierdzając, że pierwiastek po prawej jest po prostu większy, ale pociśniemy do końca. Wiedząc, że obie strony są nieujemne, możemy podnieść je do kwadratu.
Wyszło dla wszystkich iksów :) Wykazane!