Znajdź maksimum (z obliczeniem pochodnej) dla f(x)=1/(1+(x/p)+(q/x)), gdzie p i q są znanymi paramet.... Question from @Xezer

January 2019 1 53 Report

Znajdź maksimum (z obliczeniem pochodnej) dla f(x)=1/(1+(x/p)+(q/x)), gdzie p i q są znanymi parametrami.

Paawełek $f(x)= \dfrac{1}{1+\frac{x}{p}+\frac{q}{x}}=\dfrac{1}{\frac{px+x^2+pq}{px}}=\dfrac{px}{x^2+px+pq} \\ \\ f'(x)=\dfrac{(px)'(x^2+px+pq)-(x^2+px+pq)'\cdot px}{(x^2+px+pq)^2}= \\ \\ = \dfrac{p(x^2+px+pq)-px(2x+p)}{(x^2+px+pq)^2}= \\ \\ = \dfrac{px^2+p^2x+p^2q-2px^2-p^2x}{(x^2+px+pq)^2}= \\ \\ = \dfrac{p^2q-px^2}{(x^2+px+pq)^2}$

Zauważ, że mianownik jest zawsze liczbą dodatnią, wobec czego wystarczy wyznaczyć punkty stacjonarne czyli miejsca zerowe licznika:

$p^2q-px^2=0 \\ \\ p(pq-x^2)=0 \\ \\ pq-x^2=0 \\ x^2=pq \qquad \sqrt{} \\ \\ |x|=\sqrt{pq} \\ \\ x_1=\sqrt{pq} \\ x_2=-\sqrt{pq}$

Oczywiście dla p=0 funkcja nie istnieje, więc pomijamy ten fakt.

Teraz który jest maksimum a który minimum? Gdy wyznaczymy nierówność f '(x)>0 to otrzymamy nierówność:

$p^2q-px^2\ \textgreater \ 0 \\ \\ \hbox{dla} \ p\ \textgreater \ 0 \ \hbox{ramiona paraboli sa skierowane w dol, wiec} \\ x\in(-\sqrt{pq}, \sqrt{pq}) \\ q\ \textgreater \ 0 \ \hbox{poniewaz z dziedziny pierwiastka} \ pq \ge 0$

I tutaj zmienia pochodna znak z + na - w punkcie $\sqrt{pq}$ więc tu ma maksimum

Gdy p<0 (wtedy q<0 bo pq >= 0 )sytuacja jest odwrotna i ramiona paraboli będą skierowane w górę rozwiązaniem tej nierówności będzie
$(-\infty, -\sqrt{pq})\cup(\sqrt{pq},\infty)$

I pochodna zmieni znak z + na - w punkcie $-\sqrt{pq}$

Wyznaczasz maksima w podanych przedziałach:
Dla p>0 oraz q>0
$f(\sqrt{pq})=\dfrac{p\sqrt{pq}}{pq+p\sqrt{pq}+pq}=\dfrac{p}{p+2\sqrt{pq}}$

Dla p<0 oraz q<0

$f(-\sqrt{pq})= \dfrac{-p\sqrt{pq}}{pq-p\sqrt{pq}+pq}=\dfrac{p}{p-2\sqrt{pq}}$

Zauważ, że nie musisz wprowadzać dodatkowych założeń. Więc odpowiedź:

$f_{\max}= \begin{cases} \dfrac{p}{p+2\sqrt{pq}} \qquad \hbox{dla} \qquad p\ \textgreater \ 0 \quad \wedge \quad q\ \textgreater \ 0 \\ \dfrac{p}{p-2\sqrt{pq}} \qquad \hbox{dla} \qquad p\ \textless \ 0 \quad \wedge \quad q\ \textless \ 0\end{cases}.$

Funkcja nie posiada maksima dla pq<0

Zapytasz.... Dlaczego nie posiada dla q=0? Ponieważ licznik pochodnej będzie wynosić wówczas -px^2 i będzie CAŁY CZAS JEDNEGO ZNAKU, więc nie zmieni znaku :)

Zapomniałem dodać jeszcze jedną rzecz.... Otóż mianownik nie może się zerować. Zatem:

$(x^2+px+pq)^2 \neq 0 \qquad /\sqrt{} \\ \\ x^2+px+pq \neq 0 \\ \\ \Delta= p^2-4pq \\ \\ x \neq \dfrac{-p+\sqrt{p^2-4pq}}{2} \\ \\ \hbox{Oraz} \\ \\ x \neq \dfrac{-p-\sqrt{p^2-4pq}}{2} \\ \\ \hbox{Skad:} \\ \\ D: \ x \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0, \ \dfrac{-p+\sqrt{p^2-4pq}}{2}, \ \dfrac{-p-\sqrt{p^2-2pq}}{2} \ \right\}$