Question

Mam taką oto granicę:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x-%3E0%2B+x*e%5E%282%2Fx%29
I nie wiem czemu taki jest wynik, tzn x dąży do zera, e^(2/x) dąży do nieskonczonosci, czyli po prostu podstawiając mam element nieoznaczony, więc trzeba to jakoś przekształcić, żeby nie był nieoznaczony. Pomoże mi ktoś? :)

Answer 1

Istotne jest, z której strony x dąży do zera.

 

Jeżeli dąży z lewej strony to x jest cały czas ujemne i wyrażenie 2/x

dąży do minus nieskończoności. 

Wtedy e^(2/x) dąży do e^(-oo) czyli do zera. Ponieważ 'x' też doży do zera cały iloczyn dąży do

0 * 0 czyli granica lewostronna jest zerem.

 

Jeżeli x dąży z prawej strony do zera to x jest cały czas dodatnie i wyrażenie 2/x

dąży do plus nieskończoności. 

Wtedy e^(2/x) dąży do e^(+oo) czyli do nieskończoności. Pojawia się wyrażenie typu

0 * oo czyli nieoznaczone.

Granicę w tym wypadku mozna policzyć podstawiając y = 1/x dla x > 0

Wtedy y dąży do +oo i mamy granicę, do której stosujemy (po pierwszym znaku równości) twierdzenie de l'Hospitala: