Question

X do 3 - 13x + 12=0

jak obliczyć te równanie?

Answer 1

X³ - 13x + 12 = 0

Korzystamy tu z tw. Bezoutea: liczba r jest pierwiastkiem Wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - r) oraz z tego, że jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne, to są one dzielnikami wyrazu wolnego.
x³ - 13x + 12 = 0
ten ma współczynniki całkowite, więc jeśli ma pierwiastki to są to któreś dzielniki liczby 12, bo 12 to wyraz wolny
zb. dzielników to: D₁₂ = {-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, - 12, 12}
Więc szukajmy:)
W(-1) = (-1)³ - 13*(-1) + 12 = -1 + 13 + 12 = 24 ≠ 0
W(1) = 1³ - 13*1 + 12 = 1 - 13 + 12 = 0
(no i mamy jeden pierwiastek :)
x₁ = 1
Teraz podzielimy dany wielomian przez dwumian (x - 1)

(x³ - 13x + 12) : (x - 1) = x² + x - 12
-x³+x²
_____
x² - 13x + 12
-x² + x
______
- 12x +12
12x - 12
_______
= =
Stąd
(x³ - 13x + 12) = 0
(x - 1) (x² + x - 12) = 0
x - 1 = 0 lub x² + x - 12 = 0

x - 1 = 0
x = 1
x₁ = 1

x² + x - 12 = 0
Δ = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49
√Δ = √49 = 7
x₂ = -1 - 7 / 2*1 = -8/2 = -4
x₃ = -1 + 7 / 2*1 = 6/2 = 3

Odp. Rozwiązaniem równania x³ - 13x + 12 = 0 są liczby: 1, 3, - 4.