Question

Wykaż, że do wykresu f(x)= x-5/x-3 należą dokładnie 4 punkty o obu współrzędnych całkowitych.

Answer 1

Tak naprawdę trzeba pokazać, że: funkcja f(x) przyjmuje tylko 4 wartości całkowite, jeśli x jest liczbą całkowitą.

 

Ponieważ nie jestem pewien, czy nie pomyliłeś się w definiowaniu funkcji f poniżej rozważam 2 przypadki:

1) f(x) = x - (5/x) - 3

2) f(x) = (x-5) / (x-3)

 

1)

f(x) = x - (5/x) - 3

Jeśli x jest liczbą całkowitą, to liczba x-3 jest całkowita.

Aby f(x) było całkowite, to wystarczy, że 5/x jest liczbą całkowitą.

A tak jest tylko wtedy, gdy x jest dzielnikiem liczby 5.

Liczba 5 ma 4 dzielniki: -5, -1, 1 i 5, zatem tylko dla tych wartości x wartość funkcji f jest całkowita

 

2)

f(x) = (x-5) / (x-3) =

= (x-3-2) / (x-3) = (x-3)/(x-3) - 2/(x-3) = 1 - 2/(x-3)

 

Tutaj mamy podobny tok myślenia: 1 jest całkowite, więc aby f(x) było całkowite, to liczba x-3 musi być jednym z 4 dzielników liczby 2.

Te dzielniki to: -2, -1, 1 i 2

A zatem f(x) przyjmuje wartości całkowite w 4 punktach, gdy x-3 wynosi -2, -1, 1 lub 2, czyli

x wynosi -5, -4, -2 lub -1