Question

Wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów:
f(x)= x^5 - 2x^4 + x^3 + 7x^2 -12x+10
g(x)= 3x^4 - 64x^3 + 5x^2 +2x -2

Answer 1

Wielomian g(x) jest 4 stopnia wiec musi dac sie rozlozyc nad R na iloczyn dwoch wielomianow 2 stopnia a one byc moze rozkladaja sie dalej. 
Jednak nad Z te czynniki musza miec wspolczynniki calkowite stad proponujemy rozklad 

otrzymujemy stad uklad 4 rownan z niewiadomymi a,b,c,d. Jedno z nich mowi bd=-2 a to w Z spelniaja 4 pary, jak sie latwo dalej przekonac zadna z nich nie prowadzi do calkowitego rozwiazania tego ukladu.
Oznacza to ze wielomian g(x) jest nierozkladalny w Z[x].
Zatem NWD bedzie rowne 1 lub g(x), w zaleznosci od tego czy g(x) dzieli f(x). 
Patrzac na wspolczynniki przy najwiekszych potegach stwierdzamy szybko ze iloraz musialby miec wspolczynnik 1/3 przy x wiec sa niepodzielne i NWD=1