Question

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale:

<-3,6>.f(x)=2x³-3x²-36x-8



Proszę o wytłumaczenie dlaczego :)

Daję Naj

Answer 1

Do robienia tego typu zadań potrzebne sa pochodne.

Pochodna to takie cudo, które charakteryzuje funkcję, mówi nam o niej trochę więcej niż sam jej wzór. Z pochodnej możemy się dowiedzieć kiedy funkcja rośnie, kiedy maleje, gdzie ma największą i najmniejszą wartość lokalną (tzw. ekstremum lokalne).

 

Kiedy pochodna jest większa od 0 na jakimś przedziale, to znaczy, że funkcja na tym samym przedziale rośnie. Kiedy zaś pochodna jest mniejsza od 0 to znaczy, że funkcja maleje. Kiedy pochodna jest równa 0, funkcja jest stała.

Z tego co na górze można dojść łatwo do wniosku, że jeżeli pochodna jest ciągle dodatnia, a dla pewnego argumentu przyjmuje wartość 0 (przecina oś X od góry) to znaczy, że w tym miejscu funkcja przestała rosnąć. A skoro az do tego momentu rosła to znaczy, że już większa nie będzie i tam jest jej wartość maksymalna (maksimum lokalne). Analogicznie w drugą stronę: kiedy pochodna przecina oś X od dołu, to znaczy, że wcześniej funkcja ciągle malała i nagle przestała - tam mamy jej minimum lokalne.

 

Wzory na wyliczanie pochodnych znajdziesz w sieci, jest ich troche dużo, bo pochodna zależy od funkcji, a funkcji mamy nieskończoność :)

 

Pochodna podanej przez Ciebie funkcji wynosi:

6x^2 - 6x - 36

interesuje nas, kiedy spotyka się z osią X, a więc kiedy jest równa 0

 

6x^2 - 6x - 36 = 0

x^2 - x - 6 = 0

(x-3)(x+2) = 0

tak więc x należy do {3,-2}, które należą do <-3,6>

Narysuj sobie wykres pochodnej (czyli powyższej funkcji kwadratowej), zaznacz tam podane przez mnie miejsca zerowe (-2 i 3).

 

Wykres pochodnej do -2 podchodzi od góry, a więc dla x=(-2) funkcja bazowa będzie miała wartość maksymalną.

Z kolei do 3 wykres podchodzi od dołu, więc dla x=3 F bazowa będzie miała wartość minimalną.

 

Podstaw sobie -2 i 3 pod wzór funkcji podanej na poczatku - otrzymasz szukane wartości.