Question

Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji
f(x) = 2|x + 6| − |x| + |x − 6| − 18.

Answer 1

[tex]\large \text{$x\in\{-12\}\cup\big < 0,\, 6\big > $}[/tex]

Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji

polega na rozwiązaniu równania f(x) = 0

czyli mamy:

[tex]\large \text{$2|x+6|-|x|+|x-6|-18=0$}[/tex]

Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną

zależy od znaku wyrażenia wewnątrz modułu.

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:

[tex]\large\text{$|a|$}=\begin{cases}{}\ a\ \ dla\ a\ge0\\- a\ \ dla\ a < 0\end{cases}[/tex]

gdzie [tex]\large\text{$a$}[/tex] jest wyrażeniem wewnątrz modułu (a nie niewiadomą równania)

Zaczynamy od ustalenia punktu zmiany znaku, czyli miejsca zerowego modułu.

Tu mamy trzy różne moduły, czyli trzy różne miejsca zerowe:

• [tex]x+6 = 0\quad\iff\quad x=-6[/tex]    
• [tex]x=0[/tex]  
• [tex]x-6 = 0\quad\iff\quad x=6[/tex]  

Zatem równanie rozpatrujemy w czterech przedziałach:

[tex]\large \text{$(-\infty,\, -6),\ \big < \!-6,\, 0),\ \big < 0,\, 6),\ \big < 6,\,\infty)$}[/tex]

bo w każdym z nich równanie będzie miało inną postać po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej.

[tex]\large \text{$\bold{1^o\quad}x\in(-\infty,\, -6)$}[/tex]

wtedy:

        [tex]x+6 < 0\quad\implies\quad|x+6|=-x-6\\x < 0\quad\implies\quad|x|=-x \\x-6 < 0\quad\implies\quad|x-6|=-x+6[/tex]

Czyli równanie:

                [tex]\large\text{$2|x+6|-|x|+|x-6|-18=0$}\\\\\large\text{$2(-x-6)-(-x)+(-x+6)-18=0$} \\\\\large\text{$-2x-12+x-x+6-18=0$} \\\\ \large\text{$-2x-24=0$} \\\\\large\text{$-2x=24\qquad/:(-2)$} \\\\\large\text{$\bold{x=-12}\ \ \in(-\infty,\,-6)$}[/tex]

               

[tex]\large \text{$\bold{2^o\quad}x\in\big < {-}6,\, 0)$}[/tex]

wtedy:

        [tex]x+6 \ge 0\quad\implies\quad|x+6|=x+6\\x < 0\quad\implies\quad|x|=-x \\x-6 < 0\quad\implies\quad|x-6|=-x+6[/tex]

Czyli równanie:

                [tex]\large\text{$2|x+6|-|x|+|x-6|-18=0$}\\\\\large\text{$2(x+6)-(-x)+(-x+6)-18=0$} \\\\\large\text{$2x+12+x-x+6-18=0$} \\\\ \large\text{$2x=0\qquad/:2$} \\\\\large\text{$x=0\ \ \notin\big < {-}6,\,0)$}[/tex]

więc w tym przedziale nie mamy rozwiązania.

                [tex]\large \text{$\bold{x\in\varnothing}$}[/tex]

[tex]\large \text{$\bold{3^o\quad}x\in\big < 0,\, 6)$}[/tex]

wtedy:

        [tex]x+6\ge0\quad\implies\quad|x+6|=x+6\\x \ge 0\quad\implies\quad|x|=x \\x-6 < 0\quad\implies\quad|x-6|=-x+6[/tex]

Czyli równanie:

                [tex]\large\text{$2|x+6|-|x|+|x-6|-18=0$}\\\\\large\text{$2(x+6)-x+(-x+6)-18=0$} \\\\\large\text{$2x+12-x-x+6-18=0$} \\\\ \large\text{$0=0$}[/tex]

więc każda liczba z przedziału <0, 6) jest rozwiązaniem równania.

             [tex]\large \text{$\bold{x\in\big < 0,\, 6)}$}[/tex]

[tex]\large \text{$\bold{4^o\quad}x\in\big < 6,\, \infty)$}[/tex]

wtedy:

        [tex]x+6 \ge0\quad\implies\quad|x+6|=x+6\\x \ge 0\quad\implies\quad|x|=x \\ x-6 \ge 0 \quad \implies \quad|x-6|=x-6\sqrt{x}[/tex]

Czyli równanie:

                [tex]\large\text{$2|x+6|-|x|+|x-6|-18=0$}\\\\\large\text{$2(x+6)-x+x-6-18=0$} \\\\\large\text{$2x+12-24=0$} \\\\\large\text{$2x=12\qquad/:2$} \\\\ \large\text{$\bold{x=6}\ \ \in\big < 6,\,\infty)$}[/tex]

Końcowym rozwiązaniem równania jest suma rozwiązań z poszczególnych przedziałów:

   [tex]\large \text{$x=-12\quad\vee\quad x\in\varnothing\quad\vee\quad x\in\big < 0,\, 6)\quad\vee\quad x=6$}[/tex]

         [tex]\huge \text{$\bold{x\in\{-12\}\cup\big < 0,\, 6\big > }$}[/tex]