Question

Wyznacz zbiory rozwiązań następującej nierówności:
|x+2| + |3-x| ≤ 5

Prosiłbym o rozwiązanie tego zadania sposobem z narysowaniem wykresu, po czym rozpisaniem 3 możliwych przypadków i na końcu wyznaczeniu z ich rozwiązań odpowiedniego wyniku.
Prosiłbym w szczególnej mierze o ten wykres i rozpisanie skąd się co bierze.
Z góry dziękuję za pomoc.

Answer 1

Rozwiązanie:

Nierówność:

Na początek musimy obliczyć miejsca zerowe modułów (wartości bezwzględnych) w celu wyznaczenia przedziałów, w których będziemy rozpatrywać nierówność. Po co to robimy? Musimy wiedzieć, czy opuścić wartość bezwzględną ze znakiem dodatnim czy ujemnym. Dzięki przedziałom mamy pewność co do znaku wyrażeń pod modułami. Mamy zatem:

Zawsze jest tak, że przedziały ustalamy patrząc od . Zatrzymujemy się na pierwszej z liczb (miejsce zerowe o najmniejszej wartości). Tutaj jest nią . Pierwszy przedział zawsze jest obustronnie otwarty. Zatem pierwszy przedział, który będziemy rozpatrywali to:

Biorąc drugi przedział domykamy kraniec poprzedniego przedziału i zatrzymujemy się na kolejnym co do wartości miejscu zerowym. Tutaj jest to . Zatem kolejny przedział to:

Analogicznie robimy z ostatnim przedziałem. Zatem domykamy kraniec drugiego przedziału, ale że nie mamy już kolejnych miejsc zerowych, to "skończymy" w . Stąd trzeci przedział to:

Teraz rozpatrujemy je kolejno, zaczynamy od pierwszego:

Tak jak napisałem we wstępie ważny jest dla nas znak wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi. Jak go ocenić? Wystarczy, że podstawimy dowolną liczbę z przedziału, który aktualnie rozpatrujemy. Weźmy sobie liczbę . Wstawiamy do pierwszego modułu i patrzymy co wyjdzie:

Zatem dostaliśmy wartość ujemną , co oznacza, że wartość bezwzględną opuścimy z minusem. To samo robimy dla drugiej wartości bezwzględnej, tam znak się nie zmieni, więc opuścimy ją z plusem. Tak więc mamy:

Rozwiązujemy tę nierówność:

Teraz bardzo ważny moment. Musimy pamiętać, że rozpatrujemy nierówność dla konkretnego przedziału, a nie dla wszystkich liczb rzeczywistych. Stąd wniosek, że należy wybrać tylko te rozwiązania, które należą do tego przedziału. Innymi słowy bierzemy iloczyn (część wspólną) rozwiązań. W naszym przypadku łatwo zauważamy, że jest to zbiór pusty, bo nie może być jednocześnie liczbą większą lub równą oraz mniejszą od niej. Na tym etapie nie mamy rozwiązań.

Przechodzimy do drugiego przypadku:

Tak samo jak w pierwszej części oceniamy znaki pod modułami, podstawiając jakąś liczbę z przedziału, który rozpatrujemy. Tu może być to np. . Widzimy, że w pod pierwszą i drugą wartością mamy znak plus. Tak więc po prostu opuszczamy je bez zmian:

Rozwiązujemy:

Otrzymaliśmy prawdę, czyli tzw. tożsamość. Tę nierówność spełniają wszystkie liczby rzeczywiste. Mu musimy oczywiście pamiętać, że ograniczamy się tylko do przedziału, który aktualnie rozważamy. Zatem część wspólna tego przedziału i wszystkich liczb to po prostu ten przedział. Na tym etapie mamy więc rozwiązanie:

Przechodzimy do trzeciego przypadku. Mamy:

Znowu ta sama procedura ze znakami. Podstawiamy jakąś liczbę z przedziału. Wychodzi na to, że znak pod pierwszą wartością bezwzględną jest dodatni, a pod drugą jest ujemny. Zapisujemy nierówność odpowiednio opuszczając moduły:

Rozwiązujemy:

Bierzemy część wspólną rozwiązania i przedziału. Widać, że tylko jedna wartość znajduje się w obu zbiorach i jest to . To jest rozwiązanie na tym etapie.

Gdy mamy już rozważony każdy przypadek możemy przystąpić do udzielenia odpowiedzi. Aby to zrobić należy zsumować wszystkie rozwiązania (czyli rozwiązania otrzymane na każdym etapie). Przypomnijmy je:

brak rozwiązań

Teraz w przeciwieństwie do wcześniejszych rozważań bierzemy sumę zbiorów, a nie iloczyn. Suma to elementy, które należą do jednego lub do drugiego lub do trzeciego przedziału. Łatwo widzimy, że wystarczy "wrzucić" trójkę z trzeciego przypadku do zbioru numer dwa. Zatem po prostu domkniemy zbiór drugi. Stąd rozwiązaniem do całego zadania jest przedział:

Uwaga:

Jeżeli chodzi o wykres, o którym mowa w zadaniu, to robimy go najpierw oceniając znaki wartości bezwzględnych w kolejnych przedziałach. Potem symbolicznie zapisujemy na nim te znaki i korzystamy z niego podczas rozwiązywania. Taki wykres do tego zadania umieszczam w załączniku.