Question

Wyznacz x i y jeżeli liczby (2,x,y) tworzą ciąg geometryczny a liczby (x,y-5,2) tworzą arytmetyczny.

Answer 1

Należy rozwiązać układ równań:
2*y=x^2
x+2=2(y-5)
Pierwsze równanie mamy z takiej zasady, iż liczba pierwsza pomnożona przez trzecią (czyli 2 oraz y) jest równa kwadratowi liczby drugiej (czyli x^2)
Drugie równanie bierze się stąd, że trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny, jeśli suma pierwszej i trzeciej liczby (w tym przypadku x oraz 2) dają podwojoną liczbę drugą (czyli tu y-5).
Z drugiego równania wyznaczamy x:
x+2=2(y-5)
x+2=2y-10
x=2y-10-2
x=2y-12
Wyznaczony x podstawiamy w pierwsze równanie:
2*y=x^2
2y=(2y-12)^2 - potrzebny wzór skróconego mnożenia
2y=4y^2-2*2y*12+144 - przenosimy wszystkie wyrażenia na lewo
2y-4y^2+48y-144=0
-4y^2+50y-144=0 rozwiązujemy równanie kwadratowe
delta=50^2-4*(-4)*(-144)
delta=196
pierwiastek z delty= +/-14
pierwszy y=(-50-14)/(-8)=-64/-8=8
drugi y=(-50+14)/(-8)=-36/-8=4 4/8=4 1/2=4,5
Podstawiamy wyliczony y do wzoru: x=2y-12
x dla pierwszego y - x=2*8-12=16-12=4
x dla drugiego y - x=2*4,5-12=9-12=-3
Mamy zatem dwa zestawy rozwiązań:
1) x=4, y=8
2) x=-3, y=4,5