Question

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y=ax^2+bx+c wiedząc że jej zbiorem wartości jest przedział <-5,∞), a jej miejscami zerowymi są liczby (-3) i 7.

Answer 1

Miejsca zerowe -3 i 7 tzn. że funkcję można zapisać:

y=a(x+3)(x-7)

Zbiorem wartości jest przedział <-5;∞) tzn. że współrzędna q wierzchołka paraboli wynosi -5
Ponadto współczynnik a musi być liczbą dodatnią.

y=a(x+3)(x-7)

y=ax^2 - 7ax + 3ax - 21a


------------------------------------------------------------------>
    -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5   6   7                            x

 

-3 i 7 to miejsca zerowe a więc współrzędna p wierzchołka W=(p,q) będzie na środku pomiędzy -3 a 7 a więc współrzędna p=2 bo 2 jest na środku.

Podstawiam dwójkę pod x do równania a -5 za y ponieważ y to współrzędna q wierzchołka paraboli która wynosi -5 (a wiemy to stąd że Zbiorem wartości jest przedział <-5;∞) ).


-5 = 4a -14a +6a -21a
-5= -25a
a = 5

y = 5x^2 - 35x + 15x - 105
y = 5x^2 - 20x - 105


SPRAWDZENIE:

delta = 400 - 4 * (-525) = 2500

x1 = (20 - 50) / 10 = -30/10 = -3
x2 = (20 + 50) / 10 = 70/10 = 7

 

a więc jak widać miejsca zerowe się zgadzają :)
a więc nasza końcowa funkcja to:

y = 5x^2 - 20x - 105  /:5
y = x^2 - 4x - 21