Question

Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej wiedząc że zbiór wartości teh funkcji jest przedziałem (-∞,18> a wartość 10 funkcja przyjmuje dla dwóch argumentów 3 oraz -1.

Answer 1

F(x) = ax² +bx + c
f(3 ) = 10
f(-1) = 10

f(3) = a*3² + b*3 + c = 10
f(-1) = a*(-1)² +b*(-1) +c = 10

9a + 3b + c = 10
a - b +c = 10
Porównuję stronami

9a + 3b + c = a - b +c
9a + 3b + c -a +b -c = 0
8a +4b = 0 /:4
2a +b = 0
b = -2a
Obliczam c
a - b +c = 10
a - (-2a) +c = 10
a +2a +c = 10
3a + c = 10
c = 10 - 3a

Ponieważ y ∈( -∞, +18> to y = 18 iest odcięta wierzchołka

czyli - Δ : 4a = 18
- Δ = 18*4a
Δ = - 72a
Δ = b² - 4ac = -72a
(-2a)² - 4*a*(10-3a)= -72a
4a² - 40 a + 12a² + 72a = 0
16a² +32a =0
16a( a +2 ) = 0
16a = 0 lub a + 2 = 0
a = 0 lub a = -2

a = 0 pomijam, bo po wstawieniu do funkcji kwadratowej stala by sie funkcja liniowa
Rozwiazaniem jest a = -2
Obliczam b = -2a = -2*(-2) = 4
Obliczam c = 10 -3a = 10 -3*(-2) = 10 +6 = 16

a = -2
b = 4
c = 16
Funkcja ma postać :
f(x) = -2x² +4x + 16

teraz obliczam postać kanoniczną funkcji
Obliczam Δ = -72a
Δ = -72*(-2) = 144
Δ = 144
f(x ) = ax² + bx + c = a ( x + b:2a)² - Δ:4a
f(x) = -2x² +4x +16 = -2[ x + 4:2(-2)]² - Δ:4a
f(x) = -2x² +4x +16 = -2 [ x + 4 :(-4)]² -[ 144 : 4*(-2)]
f(x) = -2x² +4x +16 = -2 (x -1)² - [ 144 : (-8)]
f(x) = -2x² +4x +16 = -2(x -1)² -(-18)
f(x) = -2x² +4x +16 = -2(x -1)² +18