Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wielomian W(x) = x^4 - (2m -3)x^2 + m^2

galen Podstaw $x^2=t\;\;\;tu\;\;\;t\ge0$
W(t)=t^2-(2m-3)t+(m^2-1)[/tex]
Wielomian wyjściowy nie będzie miał pierwiastków,gdy W(t) nie będzie mieć
pierwiastków ( $\Delta<0$ ) ,lub będzie mieć dwa pierwiastki ujemne.
$\Delta=(2m-3)^2-4(m^2-1)=4m^2-12m+9-4m^2+4=-12m+13\\\Delta<0\;\;gdy\;\;-12m+13<0\;\;czyli\;\;m>\frac{13}{12}$
Dwa pierwiastki t ujemne będą gdy spełnione są warunki:
$\Delta\ge 0\;\;i\;\;t_1+t_2<0\;\;\;i\;\;t_1\cdot\;t_2>0$
Tu zastosujesz wzory Viete'a.
$\Delta\ge 0\;\;\;dla\;\;\;m\le\frac{13}{12}\\t_1+t_2<0\;\;to\;\;2m-3<0\;\;czyli\;m<\frac{3}{2}\\t_1t_2>0\;\;to\;\;m^2-1>0\;\;czyli\;\;m\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$
W części wspólnej przy delta nieujemnej otrzymasz:
$m\in (-\infty;-1)\cup (1;\frac{13}{12}>$
Dodaj do tego zbioru $m\in (\frac{13}{12};+\infty)$
Odp.
$m\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$

3 votes Thanks 2

heheheh12 $W(x)=x^4-(2m-3)x^2+m^2-1$

Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t=x^2$ .

$W(x)=t^2-(2m-3)t+m^2-1 \\
a=1 \\ b=-(2m-3) \\ c=m^2 -1 \\ \Delta=(-(2m-3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2-1)=4m^2-12m+9-4m^2+4 = \\ = -12m+13$
Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków dla Δ<0.
$-12m+13<0 \\
-12m < -13 \\
m>\frac{13}{12}$

Jednak to nie wszystko. Ponieważ $t=x^2$ , jeśli t będzie liczbą ujemną, wielomian również nie będzie miał pierwiastków.
Mamy dwie możliwości:
1)
Równanie ma jeden pierwiastek (Δ=0) i jest on ujemny.
$\left \{ {{\Delta=0} \atop {\frac{-b}{2a}<0}} \right. \\ \\ -12m+13=0 \\ -12m=-13 \\ m=\frac{13}{12} \\ \\ \frac{-[-(2m-3)]}{2 \cdot 1}=0 \\ \frac{2m-3}{2}<0 \\ 2m-3<0 \\ 2m<3 \\ m<\frac{3}{2} \\ \\ \left \{ {{m=\frac{13}{12}} \atop {m<\frac{3}{2}}} \right. \\ \\ m=\frac{13}{12}$

2)
Równanie ma dwa pierwiastki (Δ>0) i oba są ujemne.
Aby oba pierwiastki były ujemne, ich suma musi być ujemna a ich iloczyn dodatni. Wykorzystujemy wzory Viete'a.
$\begin{cases} \Delta > 0 \\ \frac{-b}{2a} <0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{cases} \\ \\ -12m+13>0 \\-12m>-13 \\ m<\frac{13}{12} \\ \\ \frac{-[-(2m-3)]}{2 \cdot 1} <0 \\ \frac{2m-3}{2} < 0 \\ 2m-3 < 0 \\ 2m < 3 \\ m < \frac{3}{2} \\ \\ \frac{m^2-1}{1} > 0 \\ m^2-1>0 \\ m^2>1 \\ m>1 \ \lor \ m<-1 \\ m \in (-\infty;-1) \cup (1;\infty) \\ \\ \begin{cases} m < \frac{13}{12} \\ m<\frac{3}{2} \\ m \in (-\infty;-1) \cup (1;\infty) \end{cases} \\ \\ m \in (-\infty;-1) \cup (1; \frac{13}{12})$

Łączymy wszystkie warunki:
$m>\frac{13}{12} \ \lor \ m=\frac{13}{12} \ \lor \ m \in (-\infty;-1) \cup (1;\frac{13}{12}) \\ \\ \boxed{m \in (-\infty;-1) \cup (1; \infty)}$

1 votes Thanks 1

Wykonaj zadania na podst tekstu źródłowego

ZADANIE W ZAŁĄCZNIKU. PROSZĘ, POMÓŻCIE, DAM NAJ ZA DOBĄ ODPOWIEDŹ

DAM NAJ, PROSZĘ POMÓŻCIE

PROSZĘ POMÓŻCIE DAM NAJ

DAM NAJ PROSZE O SZYBKIE ROZWIĄZANIE

Proszę o szybką odpowiedź, dam naj

Zadanie w załączniku. Dam naj :)

Dam naj :) Proszę o szybkie rozwiązanie

Zadanie w załączniku :) Daam naj

Zadanie w załączniku Dam naj

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social