Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 + 2mx - 2m + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału (- 2,0 )

Answer 1

 

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki wtedy, gdy Δ > 0

Ramiona paraboli skierowane są w górę , bo a = 1 > 0, zatem

 

Zatem wiem, że dla m ∈ (-∞; -3) u (1; +∞) równanie ma dwa pierwiastki.

Jeśli oba pierwiastki mają być w przedziale (-2; 0), to również wierzchołek paraboli musi być w tym przedziale, bo znajduje się w środku między pierwiastkami. Zatem pierwsza współrzędna wierzchołka musi należeć do przedziału (-2; 0):

 

Biorąc pod uwagę oba warunki (na deltę i dla wierzchołka) otrzymujemy:

Zatem:

 

Jednak to, że wierzchołek należy do przedziału (-2; 0) nie daje nam pewności, że również pierwiastki należą do tego przedziału, aby tak było, to wartości funkcji na krańcach przedziału (-2; 0) muszą być dodatnie, bo wtedy pierwiastki będą należały do przedziału, bo wartość funkcji dla pierwiastków wynosi zero.

Zatem:

Stąd:

Zatem:

 

Uwzględniając wczesniejsze ustalenia otrzymujemy:

 

Ostatecznie otrzymujemy, że równanie x² + 2mx - 2m + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału (- 2,0 ) dla