Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie:

m*16^{x}+(2m-1)*4^{x}+2-3m=0

nie ma rozwiązań.

Answer 1

Jeżeli m = 0, to
rownanie ma postac
-1 * 4^x + 2 = 0 - to ma jedno rozwiazanie x = 1/2, wiec odpada
jeżeli m nie rowna sie 0, to:
oznaczam y = 4^x
i rownanie ma postac
m y^2 + (2m-1) y + 2-3m = 0
funkcja kwadratowa nie bedzie miala rozwiazan jezeli delta < 0, czyli (2m-1)^2 - 4m(2-3m) < 0
ale moze sie tak zdarzyc, ze delta >=0, ale pierwiastki jakie wyjda, nie beda mogły się przełozyć na x, bo 4^x przyjmuje tylko wartosci nieujemne, wiec jak y wyjdzie <= 0, to dla takiego y nie bedzie x
(w przeciwnym przypadku, jak y > 0 to dla takiego y jest dokladnie jeden x = log4 y)
podsumowanie przypadkow:
1. m = 0 i 0 pierw. - odpadł
2. m <> 0 i (2m-1)^2 - 4m(2-3m) < 0
3. m <> 0 i (2m-1)^2 - 4m(2-3m) = 0 i y = -(2m-1) / 2m <= 0
4. m <> 0 i (2m-1)^2 - 4m(2-3m) > 0 i y1 < 0 i y2 < 0 (co ze wzrow Viete'a rownowazne jest, ze y1+y2 = -(2m-1)/m < 0 i y1 * y2 = (2-3m)/m < 0

roziwaznie przypadkow:
1. odpadl

2. m <>0 i 4m^2 -4m + 1 - 8m +12m = 4m^2 +8m + 1 = 4 (m+1-p(3)/2)(m +1+p(3)/2) < 0, czyli m nalezy do (-1-p(3)/2; -1+p(3)/2)

3.
delta = 0, to m = -1-p(3)/2, wtedy y = -(2m-1)/2m < 0, bo m= -1-p(3)/2 < 0 i (2m-1) < 0
lub
delta = 0, to m = -1+p(3)/2, wtedy tez y < 0, bo m < 0 i (2m-1) < 0
zatem m = -1-p(3)/2 lub m = -1+p(3)/2

4.
m <> 0 i (2m-1)^2 - 4m(2-3m) > 0
czyli m < -1-p(3)/2 lub m > -1+p(3)/2, ale m <>0
i do tego wzory Viete'a:
y1+y2 = -(2m-1)/m < 0, czyli m < 0 lub m > 1/2
y1 * y2 = (2-3m)/m < 0, czyli m < 0 lub m > 2/3
wiec sumarycznie:
m < -1-p(3)/2 lub (m > -1+p(3)/2 i m < 0) lub (m > 2/3)

Sumujac powyzsze przypadki wychodzi:
m < 0 lub m > 2/3, czyli zapisujac przedziałami
m nalezy do przedzialu od (-niesk, 0) w sumie z (2/3, + niesk)