Wyznacz wszystkie wartości parametru k dla których zbiór rozwiązań nierówności: Konkretnie chodzi mi.... Question from @AkikoCat

June 2022 1 5 Report

Wyznacz wszystkie wartości parametru k dla których zbiór rozwiązań nierówności:

Konkretnie chodzi mi o ten przedział, różnica pomiędzy zawiera się a jest przedziałem, bo rozwiązałam wszystko dobrze, jedynie mam problem z podaniem rozwiązania a niestety na lekcji tego nie miałam, dlatego tylko proszę o wytłumaczenie tej odpowiedzi (a) k=3 b) k=2 c) <-1, nieskończoność) d) <-2, nieskończoność)

Roma

Zad. 2.111

2k - x + 1 > x + 5

Zbiór rozwiązań nierówności jest przedziałem (- ∞, 10 - 3k)

2k - x + 1 > x + 5

- x - x > 5 - 2k - 1

- 2x > - 2k + 4 |:(-2)

x < k - 2

x ∈ (- ∞, k - 2)

Aby zbiór rozwiązań nierówności (- ∞, k - 2) był przedziałem (- ∞, 10 - 3k), to liczba (k - 2) musi być równa liczbie (10 - 3k). Zatem:

k - 2 = 10 - 3k

k + 3k = 10 + 2

4k = 12 |:4

k = 3

$\frac{x- 2k}{5} \geq \frac{k + 2 - x}{4}$

Zbiór rozwiązań nierówności jest przedziałem ⟨5k - 6, + ∞)

$\frac{x- 2k}{5} \geq \frac{k + 2 - x}{4} \ \ \ |\cdot 20 \\ 4(x - 2k)\geq 5(k + 2 - x) \\ 4x - 8k \geq 5k + 10 - 5x \\ 4x + 5x \geq 5k + 10 + 8k \\ 9x \geq 13k + 10 \ \ \ |:9 \\ x \geq \frac{13k + 10}{9}$

$x \in \langle \frac{13k + 10}{9}, \ + \infty)$

Aby zbiór rozwiązań nierówności $\langle \frac{13k + 10}{9}, \ + \infty)$ był przedziałem ⟨5k - 6, + ∞) to, liczba $\frac{13k + 10}{9}$ musi być równa liczbie (5k - 6). Zatem:

$\frac{13k + 10}{9} = 5k - 6 \ \ \ |\cdot 9 \\ 13k + 10 = 45k - 54 \\ 13k - 45k = - 54 - 10 \\ - 32 k = - 64 \ \ \ |:(-32) \\ \underline{k = 2}$

$\frac{3x-5k}{2}$

Zbiór rozwiązań nierówności zawiera się w przedziale (- ∞, 5k + 2)

$\frac{3x-5k}{2}$

$x \in (- \infty, \ \frac{19k - 2}{7})$

Aby zbiór rozwiązań nierówności $(- \infty, \ \frac{19k - 2}{7})$ zawierał się w przedziale (- ∞, 5k + 2) to, liczba $\frac{19k - 2}{7}$ musi być mniejsza lub równa liczbie (5k + 2). Zatem:

$\frac{19k - 2}{7} \leq 5k + 2 \ \ \ |\cdot 7 \\ 19k - 2 \leq 35k + 14 \\ 19k - 35k \leq 14 + 2 \\ - 16k \leq 16 \ \ \ |:(-16) \\ k \geq - 1 \\ \underline{k \in \langle - 1, \ + \infty)}$

$\frac{x- k}{2} -\frac{2x+3k}{3} \geq \frac{1}{6}$

Zbiór rozwiązań nierówności zawiera się w przedziale (- ∞, 5 - 6k⟩

$\frac{x- k}{2} -\frac{2x+3k}{3} \geq \frac{1}{6} \ \ \ |\cdot 6 \\ 3(x-k) - 2(2x + 3k) \geq 1 \\ 3x - 3k - 4x - 6k \geq 1 \\ - x - 9k \geq 1 \\ - x \geq 1 + 9k \ \ \ |\cdot (-1) \\ x \leq -1 - 9k$

x ∈ (- ∞, - 1 - 9k⟩

Aby zbiór rozwiązań nierówności (- ∞, - 1 - 9k⟩ zawierał się w przedziale (- ∞, 5 - 6k⟩ to, liczba (- 1 - 9k) musi być mniejsza lub równa liczbie (5 - 6k). Zatem:

$- 1 - 9k \leq 5 - 6k \\ - 9k + 6k \leq 5 + 1 \\ - 3k \leq 6 \ \ \ |:(-3) \\ k \geq - 2 \\ \underline{k \in \langle - 2, \ + \infty)}$