Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru a dla których równanie ||x-2|-3|=|x+a| ma dokładnie dwa rozwiądania

Answer 1

||x-2|-3|=|x+a|

|x-2|-3=x+a
    |x-2|=x+a+3
       x+a+3≥0      x≥-a-3      
       x-2= x+a+3  a=-5        a=-5  x≥2
       x-2=-x-a-3  x=-(a+1)/2


|x-2|-3=-x-a
    |x-2|=-x-a+3
      -x-a+3≥0      x≤-a+3
       x-2=-x-a+3  x=(5-a)/2
       x-2= x+a-3  a=1         a=1  x≤2


a<-5
a=-6na przykład

x=(5-a)/2 = 5,5
||x-2|-3|=|x+a|
||5,5-2|-3|=|5,5-6|
0,5=0,5 pasuje

x=-(a+1)/2=-(-6+1)/2=-2,5
||-2,5-2|-3|=|-2,5-6|
0,5≠8,5  nie pasuje

-5<a<1
a=0 na przykład

x=(5-a)/2=(5-0)/2 =2,5
||x-2|-3|=|x+a|
||2,5-2|-3|=|2,5+0|
 2,5=2,5  pasuje

x=-(a+1)/2 = -(0+1)/2=-0,5
||-0,5-2|-3|=|-0,5+0|
0,5=0,5   pasuje

a>1
a=2 na przykład

x=(5-a)/2=(5-2)/2=1,5
||1,5-2|-3|=|1,5+2|
2,5≠3,5 nie pasuje

x=-(a+1)/2=-(2+1)/2=-1,5
||-1,5-2|-3|=|-1,5+2|
0,5=0,5  pasuje

Odpowiedź:
x≥2    a=-5
x≤2     a=1
x=-(a+1)/2  (-5<a<1 ; a>1)
x=(5-a)/2    (a<-5 ; -5<a<1)