Question

Wyznacz wszystkie takie liczby pierwsze p, że 4p2+1 i 6p2+1 są również liczbami
pierwszymi.

Answer 1

Nie będę badał parzystego modulo, bo wiadomo, że liczba jest nieparzysta (dla p=2 otrzymam jedną z liczb złożonych). 

dla modulo 3 otrzymuję, że jeśli  to obie licczby przystają do 1 (mod 3). 

dla p = 1(mod 3)  mam  4p^2+1 = 2(mod3)  oraz 6p^2+1 = 1(mod 3)

dla p=2(mod 3) mam 4p^2+1=2(mod 3) oraz 1 (mod 3). 

Cóż... mało z tego wynika, więc modulo 3 też na nic się nie zda, bo nie wyszło nam, że dla któregokolwiek p, Twoje dwie liczby będą podzielne przez 3... z modulo 3 wynika, że liczba p jest być może postaci 3k, a być może 3k+1, a być może 3k+2... czyli w  zasadzie dowolna ;)


Sprawdzając modulo 5 mam

p = 0(mod 5)  wynika  że  4p^2+1 = 1(mod 5) oraz  6p^2+1=1(mod 5)  - to pokazuje, że p być może jest postaci 5k.

dla p=1(mod 5) mam  4p^2+1=0(mod 5)....ooo... więc p NIE JEST postaci 5k+1 bo wtedy 4p^2+1 będzie podzielna na 5

dla p=2(mod 5) mam 4p^2+1=17(mod5)=2(mod5)  a z drugiej strony 6p^2+1=25(mod 5)=0(mod 5)   również p nie będzie postaci 5k+2 bo 6p^2+1 będzie podzielne na 5.

dla p=3(mod 5) mam  4p^2+1=37(mod5)=2(mod5) oraz  6p^2+1=55(mod5)=0(mod5)  no i p nie będzie postaci 5k+3...  wyjaśnienie jw.

dla p=4(mod 5) mam 4p^2+1=65(mod5)=0(mod5).... BINGO!  

Wniosek:  Liczba "p" jest postaci 5k.  Liczba  5k jest pierwsza tylko i wyłącznie dla k=1  (bo dla k>1 będzie podzielna przez 5).  Sprawdzam co się dzieje dla p=5. 

4p^2+1 = 4*25+1=101   <- jest pierwsza
6p^2+1 =6*25+1=151   <-jest pierwsza.
p=5.