Question

Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta równobocznego ABC wiedząc, że punkt A jest wierzchołkiem paraboli o równaniu y=x^2, punkt B leży na jednym z jej ramion, a punkt C należy do ujemnej półosi OX. Napisz równanie okręgu wpisanego w trójkącie ABC.

Answer 1

Mamy:

Oznaczmy:

Podstawa trójkąta równobocznego AC leży na osi OX. Punkt C leży na ujemnej półosi, więc przy wprowadzonych oznaczeniach długość boku trójkąta równobocznego jest równa a. Spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka B dzieli naszą podstawę na dwie równe części, zatem jego pierwsza współrzędna to x = -a/2. Wysokość trójkąta równobocznego jest równa:

Badamy dla jakiego a do paraboli należy punkt o współrzędnych:

Mamy:

Stąd natychmiast mamy:

oraz:

Środek okręgu wpisanego leży na wspomnianej wcześniej wysokości trójkąta, więc pierwsza współrzędna jego środka to x = -a/2. Promień okręgu jest równy:

Stąd druga współrzędna środka okręgu to y = 1. Mamy równanie okręgu:

W załączniku znajduje się rysunek ilustrujący rozwiązanie.