Wyznacz współrzędne punktu styczności okręgu o środku A=(2,3) i prostej o równaniu x+1=2y
Zweryfikowana odpowiedź
A=(2,3)
x,y
x - 2y +1=0
Ax + By + C=0
(x - a)² + (y-b) =r²
więc:
(x-2)(y-3)² = r²
liczę r ze wzoru na odległosc punktu od prostej:
r = I Ax + By + CI / (√(A²+B²)) = I 2-6+1I/(√(1+4) = 3/√5
więc r² = (3/√5)² = 9/5
więc:
(x-2)² + (y-3)² = 9/5
teraz wyznaczam punkt przecięcia prostej i okręgu:
{x²-4x+4 + y²-6y + 9 = 9/5
{x+1=2y
{x²+y²-4x-6y=9/5 - 13
{x = 2y-1
{x²+y²-4x-6y=-11,2
{x=2y-1
{(2y-1)² + y² -4(2y-1)-6y = -11,2
{x=2y-1
{4y²-4y+1+y² - 8y+4 -6y= -11,2
{x=2y-1
5y²-18y+16,2=0
Δ=b²-4ac=324 - 324=0
y=-b/2a = 18/10 = 1,8
x=2y-1
x = 2*1,8 -1
x= 3,6 - 1
x = 2,6
odp:
jest to punkt ( 2,6 ; 1,8 )
Styczna jest prostą prostopadła do prostej zawierającej promień okręgu i przechodzącej przez środek okręgu.
---------------------------------------------------------------------
1. Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej promień prostopadłej do danej prostej:
Dane są dwie proste w postaciach kierunkowych:
y=a₁x+b₁
y=a₂x+b₂
proste te są prostopadłe wtw, gdy spełniony jest warunek:
a₁=-1/a₂
-------------------------
x+1=2y => y=x/2 + 1/2 => a₁=1/2
a₂=-1/a₁
a₂=-1 * 2
a₂=-2
---------------------------------------------------------------------
2. Prosta prostopadła do danej przechodząca przez środek okręgu:
3=-2*2+b
3=-4+b
b=7
Równanie prostej: y=-2x+7
---------------------------------------------------------------------
3. Punkt styczności - punkt przecięcia się obu prostych:
{y=-2x+7
{x+1=2y
---
{y=-2x+7
{x+1=-4x+14
---
{y=-2x+7
{5x=13
---
{y=-2x+7
{x=13/5
---
{y=-26/5 + 35/5
{x=13/5
---
{y=9/5
{x=13/5
Punkt styczności: P(13/5, 9/5)