Question

Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie
(<<w załączniku>>)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

I czy ktoś może wypisać mi dla jakich warunków równianie ma 0,1 lub 2 rozwiązania?

Answer 1

Witam.
1.Najpierw przekształcimy równanie:
(m+2)*2^(2x-1)-2m*2^x+m=0
[(m+2)*2^2x]:2^1-2m*2^x+m=0 /*2
(m+2)*2^2x-4m*2^x+2m=0
t=2^x ,gdy 2^x>0

(m+2)*t²-4m*t+2m=0 (**)

2.Równanie (**) przyjmuje postać liniową dla m+2=0,czyli m=-2
0*t²-4*(-2)*t+2*(-2)=0
8t=4,czyli t=½
t>0,więc istnieje 1 rozwiązanie równania wykładniczego 2^x=½

3.Równanie (**) przyjmuje postać trójmianu kwadratowego dla m+2≠0,czyli m≠-2
a)Dla Δ<0 i m≠-2 nie istnieją pierwiastki równania (**),więc równanie (**) posiada 0 rozwiązań
b)Dla Δ=0 i m≠-2 i t₀≤0 równanie (**) posiada 0 rozwiązań,gdyż równanie wykładnicze 2^x=t₀ jest sprzeczne dla t₀≤0
c)Dla Δ=0 i m≠-2 i t₀>0 równanie (**) posiada 1 rozwiązanie,gdyż istnieje rozwiązanie równania wykładniczego 2^x=t₀
d)Dla Δ>0 i m≠-2 i t₁≤0 i t₂<0 (czyli t₁t₂≥0 i t₁+t₂<0) równanie (**) posiada 0 rozwiązań
e)Dla Δ>0 i m≠-2 i t₁≤0 i t₂>0 (czyli t₁t₂≤0) równanie (**) posiada 1 rozwiązanie
f)Dla Δ>0 i m≠-2 i t₁>0 i t₂>0 (czyli t₁t₂>0 i t₁+t₂>0) równanie (**) posiada 2 rozwiązania

4.Pozbierajmy te warunki w całość:
>>Równanie (**) posiada 0 rozwiązań,gdy:
(Δ<0 i m≠-2) lub (Δ=0 i m≠-2 i t₀≤0)
lub (Δ>0 i m≠-2 i t₁t₂≥0 i t₁+t₂<0)
>>Równanie (**) posiada 1 rozwiązanie,gdy:
m=-2 lub (Δ=0 i m≠-2 i t₀>0) lub (Δ>0 i m≠-2 i t₁t₂≤0)
>>Równanie (**) posiada 2 rozwiązania,gdy:
Δ>0 i m≠-2 i t₁t₂>0 i t₁+t₂>0

5.Rozwiązanie tych warunków pozostawiam Tobie.Podpowiem tylko z jakich wzorów korzystamy:
Δ=b²-4ac
t₀=-b/2a
t₁t₂=c/a
t₁+t₂=-b/a

Powodzenia