Question

Wyznacz takie dwie liczby o sumie 100, których suma kwadratów jest najmniejsza

Answer 1

Na pewno z gry odpadają liczby ujemne bo ich kwadrat jest zawsze dodatni. Wobec tego te dwie liczby to 50 i 50. Ale dlaczego tak uważam?? Spójrz:
Jeżeli jedna liczba będzie większa od 50 to druga o tyle samo musi być mniejsza bo ich suma musi być równa 100. Zapiszę to w ten sposób:
(50+a)²+(50-a)²=2500 +100a + a² + 2500 - 100a + a² = 5000 + 2a²
Jak widzimy suma kwadratów będzie najmniejsza dla najmniejszego a czyli a=0 czyli są to liczby 50 i 50
Fajne zadanko
Pozdrawiam

Answer 2

Niech a + b = 100.
Musimy znaleźć najmniejszą wartość funkcji
f (a) = a2+ b2= a2+ (100-a) ²=2a²-200a+100²
Ponieważ wykres tej funkcji jest parabolą o ramionach skierowanych w górę, to przyjmuje ona wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli, czyli w punkcie
a=200/4=50, wtedy a=50
odp. 50 i 50