Wyznacz równanie okręgu symetrycznego względem prostej k jeśli x²+y²+6x-4y=0 S(-3,2) y=-2x+6.... Question from @SodkaGorycz

animaldk Musimy na początku zwinąć dane równanie do postaci (x-a)² + (y-b)² = r² aby znaleźć długość promienia:

$x^2+y^2+6x-4y=0\\\\x^2+2x\cdot3+y^2-2y\cdot2=0\\\\x^2+2x\cdot3+3^2-3^2+y^2-2y\cdot2+2^2-2^2=0\\\\korzystamy\ ze\ wzorow\ skroconego\ mnozenia:(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\\\\(x+3)^2+(y-2)^2-9-4=0\\\\(x+3)^2+(y-2)^2=13$

Zatem promień tego okręgu ma długość: r=√13

Teraz znajdziemy prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącą przez środek danego okręgu:

Warunek prostopadłości dwóch prostych:

$k:y=a_1x+b_1;\ l:y=a_2x+b_2\\\\k\perp l\iff a_1a_2=-1$

Zatem:

$k:y=-2x+6;\ l:y=ax+b\\\\k\perp l\iff-2a=-1\Rightarrow a=\frac{1}{2}\\\\y=\frac{1}{2}x+b$

Prosta ma przechodzić przez środek danego okręgu, czyli przez punkt S(-3; 2), zatem współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie tej prostej.
Podstawiamy:

$\frac{1}{2}\cdot(-3)+b=2\\\\-\frac{3}{2}+b=2\\\\b=2+\frac{3}{2}\\\\b=\frac{4}{2}+\frac{3}{2}\\\\b=\frac{7}{2}$

Otrzymujemy równanie prostej: $y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$

Wiemy, że promień naszego nowego okręgu musi być równy √13.
Zatem budujemy równanie przyjmując środek naszego nowego okręgu Q(a; b):
$(x-a)^2+(y-b)^2=13$

Środek Q(a; b) musi leżeć na wyliczonej prostej oraz w równej odległości od prostej y=-2x+6 jak punkt S(-3; 2).

Odległość między S(-3; 2) a prostą y=-2x+6 (2x+y-6=0):

$d=\frac{|2(-3)+2-6|}{\sqrt{2^2-1^2}}=\frac{|-6-4|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|-10|}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5$

Tworzymy układ równań:

$\left\{\begin{array}{ccc}\frac{|2a+b-6|}{\sqrt5}=2\sqrt5&/\cdot\sqrt5\\b=\frac{1}{2}a+\frac{7}{2}&/\cdot2\end{array}\right\\\\ \left\{\begin{array}{ccc}|2a+b-6|=10\\2b=a+7&\Rightarrow a=2b-7\end{array}\right\\\\podstawiamy:\\\\|2(2b-7)+b-6|=10\\|4b-14+b-6|=10\\|5b-20|=10\iff5b-20=10\ \vee\ 5b-20=-10\\\\5b=10+20\ \vee\ 5b=-10+20\\5b=30\ \vee\ 5b=10\\b=6\ \vee\ b=2-to\ rzedna\ okregu\ z\ zadania\\\\a=2\cdot6-7=12-7=5$

Ostatecznie otrzymujemy równanie okręgu:

$(x-5)^2+(y-6)^2=13$

==============================================================

Ogarnę jeszcze inaczej te zadanie ;)

Począwszy od momentu jak znalazłem prostą prostopadłą: $y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$

Znajdujemy punkt wspólny obu prostych:

$\left\{\begin{array}{ccc}y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\\y=-2x+6\end{array}\right\\\\\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}=-2x+6\ \ \ \ /\cdot2\\x+7=-4x+12\\x+4x=12-7\\5x=5\ \ \ /:5\\x=1\\\\y=-2\cdot1+6=-2+6=4$

Zatem punkt wspólny prostych ma współrzędne: (1; 4)
Jest on również środkiem odcinka łączącego środki okręgów.
Przyjmując środek drugiego okręgu jako Q(a; b) mamy:

$\left(\frac{-3+a}{2};\ \frac{2+b}{2}\right)=(1;\ 4)\ stad:\\\\\frac{-3+a}{2}=1\ oraz\ \frac{2+b}{2}=4\ \ \ |mnozymy\ obie\ strony\ rownan\ przez\ 2\\\\-3+a=2\ oraz\ 2+b=8\\\\a=2+3\ oraz\ b=8-2\\\\\boxed{a=5\ oraz\ b=6}$

Promienie okręgów muszą być równe, zatem otrzymujemy równanie:

$(x-5)^2+(y-6)^2=13$

3 votes Thanks 4

harjus $x^2+y^2+6x-4y=0 \\x^2+6x+9-9+y^2-4y+4-4=0 \\(x+3)^2+(y-2)^2=13 \\S(-3,2) \\r= \sqrt{13} \\k:y=-2x+6 \\l:y_1=a_1x+b_1 \\l\perp k<=>-2a_1=-1=>a_1= \frac{1}{2} \\y_1= \frac{x}{2} +b_1 \\2=- \frac{3}{2} +b_1=>b_1=3,5 \\y_1= \frac{x}{2} +3,5$

Odległość środka okręgu S od prostej k wynosi:

$y+2x-6=0 \\d= \frac{\mid2*(-3)+2-6\mid}{ \sqrt{1^2+2^2} } = \frac{10}{ \sqrt{5} } =2 \sqrt{5} \\S'(x_0,y_0)
\\ \sqrt{(x_0+3)^2+(y_0-2)^2}=4 \sqrt{5}
\\y_0= \frac{x_0}{2}+3,5
\\x_0^2+6x_0+9+( \frac{x_0}{2}+1,5)^2=80
\\ x_0^2+6x_0+9+ \frac{x_0^2}{4}+1,5x_0+2,25=80 \; /*4
\\4x_0^2+24x_0+36+ x_0^2+6x_0+9=320
\\5x_0^2 +30x_0-275=0 \; /:5
\\x_0^2+6x_0-55=0
\\\Delta=36+220=256=> \sqrt{\Delta}=16
\\ x_1= \frac{-6-16}{2}=-11-odpada
\\x_2= \frac{-6+16}{2}=5
\\y_0= \frac{5}{2} +3,5= 6
\\S'(5,6)$

Równanie okręgu symetrycznego:

$(x-5)^2+(y-6)^2=13$

1 votes Thanks 3

Napisz po angielsku my zawsze świetnie razem się bawimy. mamy wspolne pasje

Jak napisać innymi słowami wyższy cel?

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 6,a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60stopni.Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa.

Który z Polaków może być bohaterem narodowym i dlaczego?

Który z Polaków może być bohaterem narodowym i dlaczego?

Historia pilne pomocy

Proste zadanko z angielskiego

Wyznacz wszystkie wartości k należące do R, dla których punkt przecięcia prostych m i n o równaniach m:2x+4y−k^2+k−2=0, n:x-2y+k+3=0 należy do drugiej ćwiartki układu współrzędnych i nie leży na osiach x i y.

Pomocy matma! !!!!!!!!!!

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social