Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji f; Zad.2 95 a, b Zad.2.96 całe Zad.2.97 b.... Question from @Roberta2

Dawid1987Gumis

Szkoła średnia

Dział Zastosowanie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej do wyznaczania ekstremów lokalnych.

W poniższych przykładach mamy do czynienia z funkcją wielomianową której dziedziną jest zbiór $\mathbb{R}.$ .

Jest ona różniczkowalna, zaś pochodna funkcji wielomianowej wyraża się wzorem:

$(x^{\alpha})^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha -1}.$ Co więcej pochodna ma pewne użyteczne własności:

$(c\cdot f(x))^{\prime}=c\cdot f^{\prime}(x)\\(f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$

gdzie $c$ jest stałą, zaś $f,g$ funkcjami różniczkowalnymi.

W celu zbadania, czy dana funkcja ma ekstremum, należy obliczyć jej pochodną. Następnie wyliczyć punkty stacjonarne, tj. takie, w których pochodna funkcji się zeruje. Będą to jedyne punkty, w których funkcja może osiągać ekstremum. Kolejnym etapem jest sprawdzenie, czy a jeżeli tak to w którym z tych punktów stacjonarnych charakter monotoniczności funkcji zmienia się. Precyzyjniej rzecz ujmując:

Niech $f^{\prime}(x_0)=0,$ wówczas:

$i)$ jeżeli funkcja $f$ jest malejąca "na lewo" od $x_0,$ zaś rosnąca "na prawo" od $x_0,$ to funkcja $f$ osiąga minimum lokalne w $x_0.$

$i)$ jeżeli funkcja $f$ jest rosnąca "na lewo" od $x_0,$ zaś malejąca "na prawo" od $x_0,$ to funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne w $x_0.$

Po krótkim wstępie przechodzimy do analizy przykładów z zadania.

$2.95\\a)$

$f(x)=\dfrac{1}{5}x^5-\dfrac{10}{3}x^3+9x-10\\f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{5}\cdot 5x^4-\dfrac{10}{3}\cdot 3x^2+9=x^4-10x^2+9\\\\f^{\prime}(x)=0\\x^4-10x^2+9=0\\\mbox{ zastosujemy podstawienie }x^2=t\in [0, \infty)\\t^2-10t+9=0\\\Delta=10^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64>0\\t_1=\dfrac{10-8}{2}=1\in [0, \infty)\\t_2=\dfrac{10+8}{2}=9\in [0, \infty)\\x^2=1\vee x^2=9\\x=-1\vee x=1 \vee x=-3\vee x=3\\f^{\prime}(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\\f^{\prime}(x)>0\\(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)>0$

$x \in (-\infty, -3) \cup (-1,1) \cup (3, \infty)\\f^{\prime}(x)<0\\(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)<0\\x \in (-3,1) \cup (1,3)$

Zgodnie z powyższą analizą wnosimy, że funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne równe $4,4$ dla argumentu $x=-3.$

Funkcja $f$ osiąga również maksimum lokalne równe $-4 \dfrac{2}{15}$ dla argumentu $x=1.$

Funkcja $f$ osiąga również minimum lokalne równe $-15 \dfrac{13}{15}$ dla argumentu $x=-1.$

Funkcja $f$ osiąga również minimum lokalne równe $-24,4$ dla argumentu $x=3.$

$2.95\\b)$

$f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^3+4\dfrac{1}{2}x^2+7\\f^{\prime}(x)=x^3-6x^2+9x\\f^{\prime}(x)=0\\x^3-6x^2+9x=0\\x\cdot (x^2-6x+9)=0\\x \cdot (x-3)^2=0\\x=0 \vee (x-3)=0\\x=0\vee x=3\\f^{\prime}(x)>0\\x \cdot (x-3)^2>0\\\boxed{x\in (0,3)\cup (3,\infty)}\\f^{\prime}(x)<0\\x \cdot (x-3)^2<0\\x \in (-\infty, 0)$

Z powyższego wnosimy, że jedynym punktem, w którym rozważana funkcja zmienia charakter monotoniczności jest $x=0.$ W takim razie stwierdzamy, że funkcja $f$ osiąga tylko minimum lokalne równe $7$ dla argumentu $x=0.$

$2.96$

W tym zadaniu przyda nam się wzór na pochodną ilorazu, tj.

$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)} \right)^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-g^{\prime}(x)\cdot f(x)}{[g(x)]^2}$ przy założeniu, że $g(x)\not=0.$

$a)\\f(x)=5x+\dfrac{1}{x}\\D=\mathbb{R}\setminus \{0\}\\f^{\prime}(x)=5-\dfrac{1}{x^2}\\f^{\prime}(x)=0\\\dfrac{1}{x^2}=5\\\\x^2=\dfrac{1}{5}\\x=-\dfrac{\sqrt{5}}{5} \vee x=\dfrac{\sqrt{5}}{5} \\f^{\prime}(x)>0\\5-\dfrac{1}{x^2}>0\\\dfrac{1}{x^2}<5\\x^2<\dfrac{1}{5}\\x\in \left(\dfrac{-\sqrt{5}}{5},0\right) \cup \left(0, \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\\f^{\prime}(x)<0\\x\in \left(-\infty, \dfrac{-\sqrt{5}}{5}\right) \cup \left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, \infty\right)$

Z powyższego wnioskujemy, że funkcja osiąga minimum równe $-2\sqrt{5}$ dla argumentu $x=\dfrac{-\sqrt{5}}{5}$ a także osiąga maksimum równe $2\sqrt{5}$ dla argumentu $x=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$

$b)\\D=\mathbb{R}\setminus \{0\}\\f(x)=x^2+\dfrac{16}{x}\\f^{\prime}(x)=2x-\dfrac{16}{x^2}\\f^{\prime}=0\\2x-\dfrac{16}{x^2}=0\vline :2\\x-\dfrac{8}{x^2}=0\vline \cdot x\\x^3=8\\x=2\\f^{\prime}(x)>0\\2x-\dfrac{16}{x^2}>0\vline \cdot \dfrac{x^2}{2}\\x^3-8>0\\(x-2)(x^2+2x+4)>0\\x>2\\x\in (2, \infty)\\\\f^{\prime}(x)<0\\2x-\dfrac{16}{x^2}<0\vline \cdot \dfrac{x^2}{2}\\x^3-8<0\\(x-2)(x^2+2x+4)<0\\x<2\\x\in (-\infty, 0) \cup (0,2)$

Z powyższego wnosimy, że funkcja $f$ osiąga minimum lokalne równe $12$ dla argumentu $x=2.$

$c)\\D=\mathbb{R}\setminus \{0\} \\\f(x)=\dfrac{3x^2-5x+9}{x}\\f^{\prime}(x)=\dfrac{3(x^2-3)}{x^2}\\f^{\prime}(x)=0\\\dfrac{3(x^2-3)}{x^2}=0\vline \cdot \dfrac{x^2}{3}\\x^2=3\\x\in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}\\f^{\prime}(x)>0\\x^2>3\\x\in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)\\f^{\prime}(x)<0\\x^2<3\\x\in (-\sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3})$

Z powyższego wnosimy, że rozważana funkcja osiąga maksimum lokalne równe $-6\sqrt{5}-5$ dla argumentu $x=-\sqrt{3}$ a także osiąga minimum lokalne równe $6\sqrt{3}-5$ dla argumentu $x=\sqrt{3}.$

$d)\\D=\mathbb{R}\\f(x)=\dfrac{x^2-5}{x^2+2}\\f^{\prime}(x)=\dfrac{14x}{(x^2+2)^2}\\f^{\prime}(x)=0\\\dfrac{14x}{(x^2+2)^2}=0\vline \cdot (x^2+2)^2\\14x=0\vline :14\\x=0\\f^{\prime}(x)>0\\x \in (0, \infty)\\f^{\prime}<0\\x\in (-\infty, 0)$

Z powyższego wnosimy, że rozważana funkcja osiąga minimum lokalne równe $-2,5$ dla argumentu $x=0.$

$2.97$

$b)$

Funkcję zdefiniowaną jak w zadaniu przeanalizujemy jako dwie "osobne" funkcje, każdą określonej dziedzinie.

$f(x)=-x^3-11x^2-40x-48\\D=(-\infty, -3)\\f^{\prime}(x)=-3x^2-22x-40\\f^{\prime}=0\\-3x^2-22x-40=0\vline \cdot (-1)\\3x^2+22x+40=0\\\Delta=22^2-4\cdot 3\cdot 40=484-480=4>0\\x_1=\dfrac{-22-2}{6}=-4\in D \\x_2=\dfrac{-22+2}{6}=-3\dfrac{1}{3}\in D\\f^{\prime}(x)>0\\x\in (-\infty, -4)\cup \left(-3\dfrac{1}{3}, -3 \right)\\f^{\prime}<0\\x \in \left(-4, -3\dfrac{1}{3}\right)$

Z powyższego wnioskujemy, że funkcja ta osiąga maksimum równe $-2$ dla argumentu $x=-4$ a także osiąga minimum równe $\dfrac{-4}{27}$ dla argumentu $x=-3\dfrac{1}{3}.$

Rozważmy teraz funkcję dana wzorem:

$f(x)=\dfrac{9-x^2}{4+x^2}\\D=[-3, \infty)\\f^{\prime}(x)=\dfrac{-26x}{(4+x^2)^2}\\f^{\prime}(x)=0\\x=0\in D\\f^{\prime}(x)>0\\x \in [-3,0)\\f^{\prime}(x)<0\\x\in (0,\infty)$

Z powyższego wnosimy, że funkcja osiąga maksimum lokalne równe $2,25$ dla argumentu $x=0.$

2 votes Thanks 3

Świeże grzyby zawierają 90% wody. do suszarni dostarczono 340kg świeżych grzybów, po wysuszeniu grzyby zawierały 15% wody. ile kg grzybów suszonych otrzymano?

Liczba x1 = log3 9 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = 2x2 + bx − 12. Znajdź drugie miejsce zerowe tej funkcji.

Zadania układ sprzeczny oraz wierzchołek paraboli. Jak zrobić? Załącznik

Funkcja f każdej liczbie naturalnej trzycyfrowej przyporządkowuje iloczyn jej cyfr. Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość 8.

Zadania okrąg i miara kąta oraz trójkąt prostokątny Załącznik

Zadanie z ostrosłupem. Załącznik

Do czego można się odwołać? ROZPRAWKA Czy dorastanie polega przede wszystkim na odkrywaniu własnej tożsamości? Przedwiośnie, Ferdydurke a co jeszcze?

Zad.1 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) w którym r = -2 oraz a20 = 17. Pierwszy wyraz tego ciągu to? Zad.2 Ciąg an jest arytmetyczny i a5 = 10 zaś a8 = 4. Dziesiąty wyraz tego ciągu (An) jest równy? Zad.3 Różnica Ciągu arytmetycznego (an) o wyrazie ogólnym an = 5-4n / 2 jest równa

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social