Question

Wyznacz ekstrema funkcji x^2 + xy + y^2 + x − y −2=0

Answer 1

Do wyznaczenia ekstremów potrzebujemy sprawdzić kiedy pochodna się zeruje czyli rozwiązujemy układ równań


I zakładamy, że pochodna po y się nie zeruje czyli
z drugiego równania mamy i wstawiamy to do pierwszego
Po uporządkowaniu mamy

Czyli
a więc x = 0 lub x = -2
Z pierwszego równania odzyskujemy y
i dostajemy pary (0, -1) i (2, -3) obie spełniają wcześniejsze założenie dlatego będziemy sprawdzać w obu punktach znak drugiej pochodnej


Czyli mamy
Dla (0, -1) mamy a zatem minimum lokalne, natomiast dla (2, -3) czyli również minimum lokalne.