Question

Wyznacz dziedzinę funkcji :

a) f(x) =

b)

Zad.2

Zbadaj czy funkcja f: R --> R jest różnowartościowa i typu "na"

Answer 1

Dziedzina to zbiór x, dla których da się obliczyć wartość, np. dziedziną funkcji f(x) = 1/x są wszystkie liczby rzeczywiste poza zerem, bo dla x = 0 wyrażenie nie ma sensu.

 

a) Nie możemy:

1.dzielić przez zero 

x + 5 jest różny 0

x jest różny -5  - i ten warunek musimy sprawdzać przy każdym uzyskanym w dalszych krokach przedziale. Wprawdzie dalej jakby go powielamy dając ostre nierówności przy mianowniku, ale to tak dla dobrej praktyki.

2.pierwiastkować liczb ujemnych.

(-2-x)/(x+5) >= 0

żeby nierówność ta była spełniona, licznik i mianownik musza mieć te same znaki lub licznik musi być zerem.

-2-x >= 0 i x+5 > 0

x <=-2 i x > -5 

 

lub

 

-2-x <= 0 i x+5 < 0

x >=-2 i x < -5 - takie liczby nie istnieją.

 

Pozostaje nam więc przedział x należy do (-5, -2].

 

b) Nie możemy:

1. Logarytmować liczby ujemnej lub zera.

3-x > 0

x<3

Ponadto, x>0, gdyż jest podstawą logarytmu.

2. Pierwiastkować liczby ujemnej

logx(3-x) >= 0

Mamy dwa przypadki:x<1 i x>1

Dla x<1:

logx(3-x) >= 0

3-x < 1

x>2 - odpada (rozpatrujemy przypadek x<1)

Dla x>1:

logx(3-x) >= 0

3-x > 1

x<2

 

W rezultacie po uwzględnieniu wszystkich warunków wychodzi, że dziedziną jest przedział (1,2).