Question

Wystrzelono pocisk pod kątem α (licząc od poziomu) tak, że zasięg rzutu R był równy największej wysokości Hmax. Wyznacz:

a) czas t₁ w chwili osiągnięcia przez pocisk największej wysokości Hmax

b) maksymalną wysokość H max

c) czas t₂ w chwili upadku

d) zasięg R

e) kąt α pod jakim pocisk został wystrzelony

Answer 1

H max = R

 

prędkość pocisku w pionie   Vo·sinα- gt

 

wysokość maksymalną osiągnie  gdy  prędkość w składowej pionowej będzie równa zeru

 

Vo·sinα-gt = 0 

   

stąd  czas t₁ w chwili osiągnięcia przez pocisk największej wysokości Hmax

gt₁ = Vo·sinα

t₁= Vo·sinα / g    [( m/s)  /( m/s^2) =  (m/s) · ( s^2 / m ) = s ]

 

maksymalna  wysokość -  składowa pionowa  energii kinetycznej  w miejscu wyrzutu  będzie równa  energii potencjalnej

 

Eкv  ( w momencie wystrzelenia ) = m(Vo·sinα)^2 / 2  = mg(Hmax)

 

stąd  maksymalna wysokość

 

(Vo·sinα)^2 / 2  = g(Hmax)

Hmax= (Vo·sinα)^2 / 2g 

 

czas opadania  jest  równy  czasowi wzniosu, tor lotu to parabola stąd 

t₂ = 2· t₁= 2Vo·sinα / g

zasięg R jest równy Hmax  stąd:

R= Hmax= (Vo·sinα)^2 / 2g

kąt wystrzelenia

 

 torem ruchu pocisku jest parabola.

przyjmijmy I r/2 I = 1

wtedy  x1= 1  x2= -1   wierzchołek paraboli (0 , 2)

funkcja  takiej paraboli  to:  -2(x-1)(x+1)

kąt α   to kąt stycznej do tej paraboli dla x=1

zmieńmy formę

-2(x-1)(x+1) = -2x² + 2

pochodna  jest styczna , liczymy pochodną:

d/dx (-2x² + 2) = -2·2 χ + 0 = -4x

pochodna w punkcie x=1   = -4  jest to  tangens kąta  α

stąd 

  α= arctg (-4) = -75°57’50’’

 

 wynik,   gdybyśmy podstawili  wartość x= -1(  pocisk spada pod takim samym kątem , wynik wyszedłby dodatni)   tak umieszczony kąt w układzie współrzędnych  ma miarę -75°... lub  284 w odpowiedzi  interesuje nas  tylko moduł wartości tego kąta

 

wystrzału  dokonano pod kątem 75°57’50

 

teraz , znając już kąt  możemy  podstwić  go do wcześniej wyliczonych zależności

α= arctg (-4) = -75°57’50’’

sin(75°57’50)= 0,9701425001...  nam wystarczy 0,97

t₁= 0,97 · Vo/ 9,81 = 0,099 Vo

t₂= 2t₁= 0,198 Vo

R= Hmax= (Vo·0,97)^2 / 2g = Vo^2 · 0,97^2 / 2· 9,81 = 0,048 Vo^2

aby otrzymać wyniki czasu  sekundach oraz odległości w metrach, należy prędkość podstawić w metrach na sekundę [m/s].