Question

Wyprowadź wzór na wysokość h i objętość V czworościanu foremnego, którego krawędź ma długość a.

Answer 1

Na początek rysujemy czworościan foremny w podstawie wyznaczamy miejsce przecięcia się wysokości podstawy wyznaczamy H i z miejsca przecięcia zaznaczamy do wierzchołka podstawy x , który będzie nam potrzebny do wyznaczenia wysokości. Tak wyznaczony x wynosi:
h- wysokość podstawy
x = 2/3h = 2/3 * a√3/2 = a√3/3

Wysokość czworościanu wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa:
H - wysokość czworościanu
x² + H² = a²
(a√3/3)² + H² = a²
H² = a² - (a√3/3)²
H² = a² - a² * 3 /9 ( tutaj całość a² * 3 jest nad kreską ułamkową)
H² = 2a²/3
H = √2/3a² (całość pod pierwiastkiem)
H = √2/√3 a * √3/√3
H = √6/3a

Objętość: ( tu wszystko co przed / jest nad kreską ułamkową)
V = 1/3 Pp * H
V = 1/3 * a²√3/4 * √6/3a
V = a³√18/36
V = a³√9*2/36 (tu po pierwiastkiem jest 9*2)
V = 3a³√2/36
V = a³√2/12

Odp: Wysokość czworościanu H = √6/3a , objętość V = a³√2/12