Question

Wyprowadź wzór na V czworościanu foremnego

Answer 1

V= 1/3 Pp * H

V= 1/3 * a^2 pierwiastek z 3  /4 * pierwiastek z 6/ 3* a

V= a^3 pierwiastek z 18 /36 = a ^3 pierwiatek z 9*2 /36= 3a^3 pierwiatek z 2/36

V=a^3 pierwiatek z 2/ 12

Answer 2

Czworościan foremny jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi:

wzór ogólny na objętość ostrosłupa:

V=⅓Pp*H

Podstawą jest trójkąt równoboczny więc:

Pp=a²√3/4

Teraz wyliczamy wysokość ostrosłupa H, w tym celu patrzymy na trójkąt OSC w którym mamy dane a, H i ⅔h (h jest to wysokość podstawy)

=====================================

wzór na wysokość w trójkącie równobocznym

h=½a√3

zatem

⅔h=⅔*½*a√3=⅓a√3

=====================================

z twierdzenia pitagorasa (trójkąt OSC):

(⅔h)²+H²=a²

H²=a²-(⅓a√3)²

H²=a²-1/9a²*3

H²=a²-1/3a²

H²=⅔a²  |*√

H=a√2/√3*√3/√3

H=a√6/3

 

i teraz możemy podstawić do wzoru na objętość:

V=⅓Pp*H

V=⅓*a²√3/4*a√6/3

V=a³√18/36

V=a³√9*√2/36

V=3a³√2/36

V=a³√2/12

 

"/" to kreska ułamkowa