Wyprowadź wzór na pole powierzchni pięciokąta foremnego o boku długości a. (wyprowadzenie ma być peł.... Question from @HipsterskaZupa

Paawełek DYGRESJA. Jak wyznaczyć kotangens kąta 36 stopni?

1. Wykorzystuję wzór:

$\sin (2x)= 2\sin x \cos x$

Stąd powstaje mi zależność:

$\sin 72^{\circ} = 2\sin 36^{\circ} \cos 36^{\circ}$

Wtkorzystuję wzór redukcyjny: $\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ skąd mam, że sin 72 = sin (90-18) = cos 18. A zatem otrzymam:

$2\sin 36^{\circ} \cos 36^{\circ} = \cos 18^{\circ}$

2. Wykorzystuję wzór:

$\cos \dfrac{x}{2} = \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}} \qquad \cos \dfrac{x}{2}\ \textgreater \ 0$

Stąd otrzymamy już:

$2\sin 36^{\circ} \cos 36^{\circ} = \sqrt{\dfrac{1+\cos 36^{\circ}}{2}} \\ \\ \hbox{Oraz z jedynki trygonometrycznej:} \\ \\ 2\sqrt{1-\cos^2 36^{\circ}} \cos 36^{\circ} = \sqrt{\dfrac{1+\cos 36^{\circ}}{2}} \\ \\ \hbox{Podkladam} \ \ x=\cos 36^{\circ} \qquad x \in (0,1)$

Otrzymuję równość:

$2x\sqrt{1-x^2}=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}} \qquad /(...)^2 \\ \\ 4x^2(1-x^2)=\dfrac{1+x}{2} \qquad /\cdot 2 \\ \\ 8x^2(1-x)(1+x)=1+x \qquad /:(1+x) \\ \\ \hbox{Moge tak podzielic, poniewaz wiadomo ze} \ \ x \neq -1: \\ \\ 8x^2(1-x)=1 \\ \\ 8x^2-8x^3=1$

$8x^3-8x^2+1=0 \\ \\ 8x^3-4x^2-4x^2+2x-2x+1=0 \\ \\ 4x^2(2x-1)-2x(2x-1)-(2x-1)=0 \\ \\ (4x^2-2x-1)(2x-1)=0 \\ \\ \hbox{Z rownania} \ \ 2x-1 \ \ \hbox{otrzymujemy} \ \ x=\dfrac{1}{2} \ \ \hbox{Ale logicznym jest ze} \\ \cos 36^{\circ} \neq \dfrac{1}{2}$

Rozwiązuję więc równość kwadratową:

$4x^2-2x-1=0 \\ \\ \Delta= 4+16=20 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \\ \\ x_1=\dfrac{2+2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \in D\\ \\ x_2=\dfrac{2-2\sqrt{5}}{8}= \dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\ \textless \ 0 \notin D$

WNIOSEK: $\cos 36^{\circ}= \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$

Teraz wyznaczę sinusa 36 z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^236^{\circ}= 1-\cos^2 36^{\circ}= 1- \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2= 1- \dfrac{5+1+2\sqrt{5}}{16}= \\ \\ = \dfrac{16-6-2\sqrt{5}}{16}=\dfrac{10-2\sqrt{5}}{16} \\ \\ \hbox{Pierwiastkujac:} \\ \\ \sin 36^{\circ}= \dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Mając sin 36 i cos 36 możemy teraz obliczyć ctg 36:

$\hbox{ctg} 36^{\circ} = \dfrac{\cos 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}} =\dfrac{\frac{\sqrt{5}+1}{4}}{\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}} = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{5}+1)^2}{10-2\sqrt{5}}}= \\ \\ = \sqrt{\dfrac{6+2\sqrt{5}}{10-2\sqrt{5}}}=\sqrt{\dfrac{(6+2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}{(10-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}= \sqrt{\dfrac{80+32\sqrt{5}}{80}}= \\ \\ =\sqrt{1+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$

I DALEJ POSTĘPUJEMY JAK MARSUW:

Opis rysunku:
Dany jest pięciokąt foremny ABCDE o środku O
Trójkąt ABO jest równoramienny, gdzie |AB| = a.
S - środek odcinka AB
OS = h - wysokość trójkąta ABO, zatem |SB| = a/2.
Kąt AOB = 360/5 = 72 stopnie zatem kąt SOB = 36 stopni.

Zachodzi w trójkącie OSB:

$\hbox{ctg} \ 36^{\circ} = \dfrac{h}{\frac{a}{2}} \qquad /\cdot \frac{a}{2} \\ \\ h=\dfrac{a}{2}\hbox{ctg} \ 36^{\circ}=\dfrac{a}{2}\sqrt{1+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$

Pole pięciokąta to pięć trójkątów AOB więc:

$P = 5P_{\triangle AOB}=5 \cdot \dfrac{ah}{2}=5 \cdot \dfrac{a}{2} \cdot\dfrac{a}{2}\sqrt{1+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}= \dfrac{5a^2}{4}\sqrt{1+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}= \\ \\ = \dfrac{a^2}{4} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{1+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}} = \boxed{\dfrac{a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}}$

W postaci, jaką my znamy.

4 votes Thanks 1

marsuw Pięciokąt foremny możemy podzielić na 5 przystających trójkątów równoramiennych o kącie równym:
360 : 5 = 72 stopnie
Prowadzimy wysokość tego trójkąta która dzieli kat na połowę
72 : 2 = 36 stopni

$ctg36= \frac{h}{ \frac{a}{2} }\\h= \frac{a}{2}ctg36\\\ pole \ trojkata\\P\Delta= \frac{1}{2}*a*h\\ P\Delta= \frac{1}{4}*a^2*ctg36\\\ pole \ pieciokata \\P=5*P\Delta\\P=5* \frac{1}{4}*a^2*ctg36= \frac{5}{4}*a^2*ctg36$

Udowodnij, że dla dowolnego n>1 liczba nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Podaj przykład dwóch liczb naturalnych, których średnia geometryczna i harmoniczna też są liczbami naturalnymi.

Podaj przykłady zastosowania skali logarytmicznej w: chemii, fizyce, geografii i biologii.

Bez użycia kalkulatora i komputera określić, która z liczb jest większa: czy .

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social