Question

Wykonaj dwa zadania z załącznika.

Proszę o odpowiedź również w formie załącznika!

Answer 1

1.2
sp. I (nie polecam)
Przyjmijmy, że wyrzucenie orła to sukces, a reszki - porażka. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła, czyli sukcesu, jest równe p = 1/2, tak samo wyrzucenia reszki - q = 1/2. Przyjmijmy, że k - liczba wyrzuconych orłów, n = 6 - liczba rzutów.

Zastosujmy schemat Bernoulliego do obliczenia ilości sukcesów równej 4, 5 i 6 dla 6 rzutów (wtedy zawsze jest "dobrze" wg warunków zadania):

P_n(k) = (n po k) * p^k * q^(n-k)
P_6(4) = (6 po 4) * (1/2)^4 * (1/2)^(6-4) = 15 * (1/2)^6 = 15/64
P_6(5) = (6 po 5) * (1/2)^5 * (1/2)^(6-5) = 6 * (1/2)^6 = 6/64
P_6(6) = 1/64
Sumujemy - nasze prawdopodobieństwo wynosi 22/64 = 11/32

sp. II (chyba nawet prostszy, bo nie wykorzystuje rachunku tylko samo kombi i trochę myślenia)
Stosujemy biekcję (rozwiązujemy bliźniaczy problem): liczymy stosunek ilości liczb sześciocyfrowych o cyfrach 1 i 2 i sumie cyfr >= 10 do wszystkich liczb sześciocyfrowych o cyfrach 1 i 2 - wtedy zakładamy że 2 to orzeł, 1 to reszka, a kolejne cyfry to kolejne rzuty monetą, wyjdzie to samo.
Tak krótko już opisując: wstawiamy na 4, 5 lub 6 miejsc dwójkę, na resztę jedynki i wtedy jest dobrze. Wszystkich liczb 6cyfrowych o cyfrach 1 lub 2 jest 2^6 = 64, a tych spełniających warunki (6 po 4) + (6 po 5) + (6 po 6) = 15 + 6 + 1 = 22. 22/64 = 11/32.

1.1 (nie wiem czy dobrze, zalecam zapytać się kogoś kompetentniejszego) Podobnie jak w sp. II z 1.2; nie patrzmy na ten problem tak jak jest w zadaniu, zróbmy bliźniaczy: ile jest liczb sześciocyfrowych, w których nie wystąpi tylko jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5? Jaki jest ich stosunek do wszystkich liczb sześciocyfrowych utworzonych z danych cyfr?
Wszystkich liczb utworzonych z tych cyfr jest 5^6. Teraz pomyślmy sobie tak: eliminujemy jedną z cyfr, nieważne którą (pięć możliwości). Wybieramy, 1° które dwie z pozostałych cyfr będą powtórzone po dwa razy (4 po 2) lub 2° która będzie powtórzona trzy razy (4 po 1).

1° Wstawiamy naszą pierwszą powtórzoną parę na dwa z 6 miejsc; możemy to zrobić na 6 po 2 sposobów; potem drugą na 4 po 2 sposobów, a na koniec tasujemy pozostałe dwie na 2! sposobów.
2° Wybieramy trzy miejsca na których będzie nasza powtórzona cyfra (6 po 3), pozostałą trójkę tasujemy (3!).
Razem liczb spełniających warunki zadania jest 5 * [(4 po 2) * (6 po 2) * (4 po 2) * 2! + (4 po 1) * (6 po 3) * 3!]
Dzielimy to przez 5^6.

5 * [6 * 15 * 6 * 2 + 4 * 20 * 6] = 5 * [1080 + 480] = 5 * 1560 = 7800.
7800 = 2*2*2*3*5*5*13 = 2^3 * 3 * 5^2 * 13
2^3 * 3 * 5^2 * 13 / 5^6 = 2^3 * 3 * 13 / 5^4 = 24*13/625 = 312/625