Wykaz, ze ciąg jest monotoniczny. Zad 4 i 7.... Question from @Lukaszs11

Lukaszs11 @Lukaszs11

December 2018 1 74 Report

Wykaz, ze ciąg jest monotoniczny. Zad 4 i 7

MrPolygon Aby określić monotoniczność ciągu, należy "od wyrazu następnego odjąć wyraz poprzedni" (tzn. wykonać działanie $a_{n+1}-a_n$ ), a następnie stwierdzić, czy uzyskane wyrażenie jest zawsze dodatnie bądź zawsze ujemne.

Jeżeli $a_{n+1}-a_n<0$ , to $a_{n+1}<a_n$ , czyli "następny jest mniejszy od poprzedniego", więc ciąg jest malejący.

Jeżeli $a_{n+1}-a_n>0$ , to $a_{n+1}>a_n$ , czyli "następny jest większy od poprzedniego", więc ciąg jest rosnący.

Wyraz "następny" (czyli $a_{n+1}$ ) uzyskujemy poprzez wstawienie wszędzie we wzorze ciągu sumy $(n+1)$ w miejsce samego $n$ .

Zad. 4.
a)
$a_n=4n-2\\\\a_{n+1}=4(n+1)-2\\\\a_{n+1}-a_n=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4n+4-2-4n+2=4>0\\\\a_{n+1}-a_n>0\rightarrow\textrm{ciag\;rosnacy}$

b)
$a_n=-n+7\\\\a_{n+1}=-(n+1)+7\\\\a_{n+1}-a_n=[-(n+1)+7]-(-n+7)=-n-1+7+n-7=-1<0\\\\a_{n+1}-a_n<0\rightarrow\textrm{ciag\;malejacy}$

c)
$a_n=n^2-8\\\\a_{n+1}=(n+1)^2-8\\\\a_{n+1}-a_n=[(n+1)^2-8]-(n^2-8)=n^2+2n+1-8-n^2+8=\\\\\rule{15mm}{0pt}=2n+1>0$

Wyrażenie $2n+1$ jest dodatnie, gdyż n jest liczbą naturalną (więc większą od zera).

$a_{n+1}-a_n=2n+1>0\\\\a_{n+1}>a_n\rightarrow\textrm{ciag\;rosnacy}$

Zad. 7.
a)
$a_n=\frac{1-n}{n+1}\\\\a_{n+1}=\frac{1-(n+1)}{(n+1)+1}=\frac{1-n-1}{n+1+1}=\frac{-n}{n+2}\\\\a_{n+1}-a_n=\frac{1-n}{n+1}-\frac{-n}{n+2}=\frac{1-n}{n+1}+\frac{n}{n+2}=\frac{(1-n)\cdot(n+2)}{(n+1)\cdot(n+2)}+\frac{n\cdot(n+1)}{(n+2)\cdot(n+1)}=\\\\=\frac{(n-2n+2-n^2)+(n^2+n)}{(n+1)\cdot(n+2)}=\frac{2}{(n+1)\cdot(n+2)}>0$

Otrzymane wyrażenie jest dodatnie, gdyż w liczniku mamy dwójkę (więc liczbę dodatnią), zaś w mianowniku iloczyn dwóch liczb naturalnych (więc dodatnich).

$a_{n+1}-a_n=\frac{2}{(n+1)\cdot(n+2)}>0\\\\a_{n+1}>a_n\rightarrow\textrm{ciag\;rosnacy}$

b)
$a_n=\frac{3n}{n+2}\\\\a_{n+1}=\frac{3(n+1)}{(n+1)+2}=\frac{3n+3}{n+3}\\\\a_{n+1}-a_n=\frac{3n+3}{n+3}-\frac{3n}{n+2}=\frac{(3n+3)(n+2)-3n(n+3)}{(n+3)\cdot(n+2)}=\frac{6}{(n+3)(n+2)}>0\\\\a_{n+1}-a_n>0\\\\a_{n+1}>a_n\rightarrow\textrm{ciag\;rosnacy}$

c)
$a_n=\frac{n}{2n-1}\\\\a_{n+1}=\frac{(n+1)}{2(n+1)-1}=\frac{n+1}{2n+1}\\\\a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{2n+1}-\frac{n}{2n-1}=\frac{(n+1)(2n-1)-(2n+1)n}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{-1}{(2n+1)(2n-1)}<0\\\\a_{n+1}-a_n<0\\\\a_{n+1}<a_n\rightarrow\textrm{ciag\;malejacy}$

d)
$a_n=\frac{3n+2}{4n+1}\\\\a_{n+1}=\frac{3(n+1)+2}{4(n+1)+1}=\frac{3n+5}{4n+5}\\\\a_{n+1}-a_n=\frac{3n+5}{4n+5}-\frac{3n+2}{4n+1}=\frac{(3n+5)(4n+1)-(3n+2)(4n+5)}{(4n+5)(4n+1)}=\frac{-5}{(4n+5)(4n+1)}\\\\a_{n+1}-a_n<0\\\\a_{n+1}<a_n\rightarrow\textrm{ciag\;malejacy}$

1 votes Thanks 1

More Questions From This User See All

Lukaszs11 February 2019 | 0 Replies

Oblicz poh roztworów 1) 0.55m koh 2) 0.034m ca(oh)2

Lukaszs11 February 2019 | 0 Replies

Dlaczego HCl nie tworzy kryształów jonowych, a NH4HS tak?

Lukaszs11 February 2019 | 0 Replies

Podaj przykładu rozróżniania mieszanin niejednorodnych od jednorodnych - po kilka przykładów, ogólnikowo, np. odsączenie itp itd.

Lukaszs11 February 2019 | 0 Replies

1) Proste o równaniach y=3x+2k oraz y= -2x +2m przecinaja sie w punkcie P = (6,2) Jakie są k i m? 2) Punkt A jest symetryczny do punktu B względem osi X. Punkt C (9,-11) jest symetryczny do B względem osi y. Jakie współrzędne ma punkt A? 3) Punkt A = (-1,2) i C (3,5) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Jakie jest obwód tego kwadratu?

Lukaszs11 February 2019 | 0 Replies

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt 30*. Wyznacz objętość tego graniastosłupa. Wynik, który ma wyjść to \frac{d^{3} \sqrt{2} }{8} PS: Za rysunek byłbym mega wdzięczny :)

Lukaszs11 January 2019 | 0 Replies

3 zadania z geometrii analitycznej, prosze o rozwiązanie dzisiaj, dam naj 1. Prosta o rownaniu y= -x + 3 jest symetralna odcinka AB. Wyznacz rownanie prostej AB i wspolrzedne punktu B, jeśli A(-1,-2) 2. Dany jest trapez o wierzchołkach: A(-2,1) B(3,-4) C(2,3) D(1,4) a) wyznacz rownania prostych zawierajacych boki AB CD i AD b) Uzasadnij, ze trapez ten jest prostokatny i oblicz jego pole 3 Dane sa punkty A(0,0) B(10,10) C(4,13). Z wierzchołka ABC poprowadzono wysokość AD. Wyznacz współrzedne punktu D i oblicz pole trojkata ABC

Lukaszs11 January 2019 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie dwóch zadań z załącznika z jakimś sensownymi obliczeniami i wytłumaczeniem, geometryka analityczna. Zad 13,14

Lukaszs11 January 2019 | 0 Replies

Proszę o sprawdzenie pod względem gramatycznym i ewentualnie poprawienie błędów z mojego opisu obrazka The photo shows four kids - two boys and two girls. Probably ther are sibilings. The action takes place in the garden or in the plot. They are collaborate with each other. The girls are planting a tree, younger boy is holding a watering can, older boy is holding a shovel, maybe he digged a cavity for tree.

Lukaszs11 January 2019 | 0 Replies

Przetłumacz zdanie Erzähle von der Internetbekanntschaft, die du oder deine Freundin, geführt habt.

Lukaszs11 December 2018 | 0 Replies

Podaj fragmenty Pisma Świętego gdzie pojawia się motyw wyboru

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.