Question

Wykaż,że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb :
a) naturalnych jest liczbą nieparzystą
b) nieparzystych nie jest liczbą podzielną przez 4

Answer 1

A) 2 kolejne liczby naturalne to zawsze liczba parzysta i nieparzysta.
Kwadrat liczby parzystej jest zawsze parzysty, a kwadrat liczby nieparzystej jest zawsze nieparzysty. Suma liczby parzystej i nieparzystej jest zawsze nieparzysta. Dlatego właśnie suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą

b)
n - liczba całkowita
2n+1 - pierwsza liczba nieparzysta 
2n+3 - kolejna liczba nieparzysta
n^2 oznacza n do kwadratu
kwadraty:
(2n+1)^2=4n^2 +4n +1
(2n+3)^2=4n^2 + 12n +9

suma kwadratów:
4n^2 +4n +1 + 4n^2 + 12n +9 = 8n^2 +16n + 8 +2=4(2n^2+4n+2)+2
 
(2n^2+4n+2) - to jest dowolna liczba całkowita, bo jest sumą liczb całkowitych.

Z tego wynika, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych nie jest liczbą podzielną przez 4, bo w wyniku dzielenia przez 4 zostaje reszta 2

Answer 2

A)

2n^2 + 2n jest liczbą parzystą więc jeżeli dodamy do niej 1 będzie liczbą nieparzystą 
b)