Question

Wykaż, że wyrażenie x⁹⁵+x⁹⁴+x⁹³+...+x²+x+1 jest podzielne przez

x³¹+x³⁰+x²⁹+...+x²+x+1.

Bardzo proszę o pomoc :)

Answer 1

Wielomian W(x)=x^95+x^94+...+1 będzie podzielny przez wielomian Q(x)=x^31+x^30+...+1, jeżeli da się go zapisać w postaci: W(x)=P(x)*Q(x), czyli tylko wtedy, gdy dla każdego pierwiastka p(n) wielomianu Q(x), W(p(n) ) będzie równe 0.

Zauważmy, że wielomian Q(x) tworzy ciąg gometryczny o wyrazie a1=1 i q=x.

Wiemy więc, że wartość wielomianuu:

Oczywiści dla x różnego od 1.

Tak więc sprawdzamy jakie są możliwe pierwiastki wielomianu Q(x):

Dla x=1 wartość wielomianu Q(x) jest różna od 0.

 

Zauważamy, że wielomian W(x) również tworzy ciąg geometryczny o wyrazie a1=1 i q=x, więc jego wartość dla x różnego od 1 wynosi:

2 votes Thanks 1