Question

Wykaż że, w trapezie równoramiennym wpisanym w okrąg którego dwa kąty rozwarte mają po 120⁰, dłuższa podstawa jest średnicą. Proszę o jak najwięcej dowodów.

Answer 1

Patrz na rysunek: Kąt CDE musi z kątek 120 dać kąt półpełny zatem ma 60, wiemy więc że kąt BAC również ma 60, Warunek na opisanie okręgu jest zatemspełniony (Przeciwległe kąty równe 180 stopni: 120+60=180)
Wiemy że kąt opisany na średnicy okręgu ma 90 stopni, rysujemy zatem przekątną trapezu, jeśli udowodnimy, że powstały w ten sposób kąt ACB ma 90, to będziemy mogli stwierdzić że podstawa jest średnicą okręgu opisanego.
Kąt DBC ma 60-α, kąt BCD ma β, rozpatrujemy trójkąt BCE w którym suma kątów musi dać 180:

60-α+β+60+60=180 => α=β
W trójkącie BCD: 120+2α=180 => α=30
Zatem kąt ABC ma również 30, a skoro kąt BAC ma 60 to ACB=90 i podstawa jest średnicą okręgu opisanego