Question

Wykaż, że równanie (ax+b) (dx+c) +(bx+a) (cx+d) =0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania dla dowolnych dodatnich parametrów a, b,c i d takich, że (a>b i c>d) lub (a<b i c<d). ​​

Answer 1

a, b, c, d > 0, czyli ad + bc > 0

ad + bc ≠ 0 zatem jest to równanie kwadratowe.

Ilość rozwiązań równania kwadratowego zależy od znaku jego wyróżnika (Δ).

4 jako liczba dodatnia nie wpływa na znak wyróżnika, czyli znak wyróżnika jest taki jak znak iloczynu (a²-b²)(c²-d²)

Wiemy, że dla dodatnich a, b c, d:

                             a>b  ∧  c>d   ⇒  a²>b²  ∧  c²>d²

Wtedy:    a²-b²>0  ∧  c²-d²>0   ⇒   (a²-b²)(c²-d²)>0

                             a<b  ∧  c<d   ⇒   a²<b² ∧ c²<d²

Wtedy:    a²-b²<0 ∧ c²-d²<0   ⇒   (a²-b²)(c²-d²)>0

Czyli jakiekolwiek liczby spełniające podane warunki wybierzemy, wyróżnik podanego równania będzie dodatni, zatem równanie ma dwa różne rozwiązania.

                    Co należało wykazać.