Question

Wykaż, że równanie
5x⁴ - 4x² + √3 - 1 = 0
ma cztery różne pierwiastki

Answer 1

5x⁴ - 4x² + √3 - 1 = 0
x²=t

5t² - 4t + √3 - 1 = 0
Δ= b²-4ac = 16 - 20(√3 - 1) = 16 - 20√3 + 20 = 36 - 20√3
√Δ=√(36 - 20√3) <--- ten cały nawias jest pod pierwiastkiem

t₁= -b + √Δ / 2a = 4 + √(36 - 20√3) / 10 = 0,4 + 0,1√(36 - 20√3) =
= 0,4 + 0,2√(9-5√3)

t₂= -b - √Δ / 2a = 4 - √(36 - 20√3) / 10 = 0,4 - 0,1√(36 - 20√3) =
= 0,4 - 0,2√(9-5√3)

x² = 0,4 + 0,2√(9-5√3)

x² = 0,4 - 0,2√(9-5√3)

Z jednego i drugiego równania mamy po dwa pierwiastki.

Answer 2

5x⁴ - 4x² + √3 - 1 = 0
t=x², t∈<0,+∞)
5t²-4x²+√3-1=0
Teraz wystarczy, ze wykazemy Δ>0 i oba t wieksze od 0, czyli t1t2>0 ∧ t1+t2>0

Δ>0
16-4*5(√3-1)=16-20√3+20=36-20√3
20√3≈34,5, czyli
36-20√3>0
warunek spelniony

t1t2>0
(√3-1)/5>0, a √3-1>0
warunek spelniony

t1+t2>0
4/5>0
warunek spelniony
Czyli rownanie ma 4 rozne pierwiastki, cbdu.